Bất đẳng thức
Bài 1 trang 79 SGK Đại số lớp 10
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?
a) 8x > 4x; b) 4x > 8x;
c) 8x2 > 4x2; d) 8 + x > 4 + x.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:
a) Nếu x < 0 thì a) sai;
b) Nếu x > 0 thì b) sai;
c) Nếu x = 0 thì c) sai;
d) Đúng với mọi giá trị của x.
Bài 2 trang 79 SGK Đại số lớp 10
Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất?
Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:
Với x > 5 thì
Vậy với cùng số x > 5 thì biểu thức C = 5/x – 1 có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3 trang 79 SGK Đại số lớp 10
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a) Chứng minh (b – c)2 < a2;
b) Từ đó suy ra a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:
a) Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.
a + b > c => a + b – c > 0
a + c > b => a + c – b > 0
=> [a + (b + c)](a – (b – c)) > 0
=> a2 – (b – c)2 > 0 => a2 > (b – c)2.
b) Từ kết quả câu a), ta có:
a2 + b2 + c2 > (b – c)2 + (a – c)2 + (a – b)2
<=> a2 + b2 + c2 > b2 + c2 – 2bc + a2 + c2 – 2ac + a2 + b2 – 2ab
<=> 2(ab + bc + ac) > a2 + b2 + c2.
Bài 4 trang 79 SGK Đại số lớp 10
Chứng minh rằng:
x3 + y3 ≥ x2y + xy2, ∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:
Ta có: (x – y)2 ≥ 0 <=> x2 + y2 – 2xy ≥ 0
<=> x2 + y2 – xy ≥ xy
Do x ≥ 0, y ≥ 0 => x + y ≥ 0,
Ta có (x + y)(x2 + y2 – xy) ≥ (x + y)xy <=> x3 + y3 ≥ x2y + xy2.
Bài 5 trang 79 SGK Đại số lớp 10
Chứng minh rằng
x4 – √x5 + x – √x + 1 > 0, ∀x ≥ 0.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:
Đặt √x = t, x ≥ 0 => t ≥ 0.
Vế trái trở thành: t8 – t5 + t2 – t + 1 = f(t)
Nếu t = 0, t = 1, f(t) = 1 >0
Với 0 < t <1, f(t) = t8 + (t2 – t5) +1 – t
t8 > 0, 1 – t > 0, t2 – t5 = t3(1 – t) > 0. Suy ra f(t) > 0.
Với t > 1 thì f(t) = t5(t3 – 1) + t(t – 1) + 1 > 0
Vậy f(t) > 0 ∀t ≥ 0. Suy ra: x4 – √x5 + x – √x + 1 > 0, ∀x ≥ 0.
Bài 6 trang 79 SGK Đại số lớp 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:
Ta có: 2SOAB = AB.OH = AB (vì OH = 1).
Vậy diện tích OAB nhỏ nhất khi AB có độ dài ngắn nhất.
Vì AB = AH + HB mà AH.HB = OH2 = 1 nên AB có giá trị nhỏ nhất khi AH = HB tức OAB vuông cân: OA = OB và
AB = 2AH = 2OH = 2.
AB2 = 4 = 2OA2 = 2OH = OA = OB = √2.
Khi đó tọa độ của A, B là A(√2; 0) và B(0; √2).
