Giải bài tập SGK toán lớp 11. Chương 2. Bài 4. Hai mặt phẳng song song

a) Xác định giao điểm D’ của d với mp(A’B’C’)

=>mp(ABB’A’) // mp(CDD’C’) mà mp(A’B’C’) cắt mp(ABB’A’), cắt mp(CDD’C’) theo giao tuyến C’D’ // A’B’.

Vậy mp(A’B’C’) cắt d tại D’ sao cho C’D’ // A’B’ (1)

b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành

Chứng minh tương tự, ta có B’C’ // A’D’ (2)

*Từ (1) và (2)=>A’B’C’D’ là hình bình hành (đpcm).

Bài 2 (trang 71 SGK Hình học 11): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.

a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.

c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).

d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.

Lời giải:

a) Ta có MM’, BB’, AA’ song song và bằng nhau nên AA’M’M là hình bình hành, từ đó ta có AM // A’M’.

b) Gọi I = A’M ∩ AM’, ta có :

Vậy I = A’M ∩ (AB’C’)

c) Gọi O = AB’ ∩ BA’, ta có :

=> O ∈(AB'C')∩(BA'C') nên giao tuyến d chính là OC’.

d) Trong mp(AB’C’) : C’O ∩ AM’ = G, ta có:

ΔAB’C’ có hai trung tuyến C’O và AM’ cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ΔAB’C’

Bài 3 (trang 71 SGK Hình học 11): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và ΔA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

Lời giải:

A’B // D’C và D’C ⊂ (B’D’C) => A’B // (B’D’C)      (1)

BD // B’D’ và B’D’ ⊂ (B’D’C) => BD // (B’D’C)      (2)

A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’)      (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C).

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình bình bình hành ABCD, ta có A’O ⊂ (A’ACC’). Trong mặt phẳng (A’ACC’) hai đường thẳng A’O và AC’ cắt nhau tại điểm G1, G1 ∈ A’O và A’O ⊂ (BDA’)=> G1 ∈ (BDA’),G1 ∈ AC’

Vậy G1 ∈ AC’ ∩ (BDA’)

Tứ giác ACC’A’ là hình bình hành, giao điểm I của hai đường chéo A’C và AC’ là trung điểm của mỗi đường.

Xét tam giác AA’C, các trung tuyến A’O và AI cắt nhau tại G1. Vậy G1 là trọng tâm của ΔAA’C cho ta OG1/OA' = 1/3 , A’O cũng là trung tuyến của ΔBDA’ nên tỉ số OG1/OA' = 1/3 chứng tỏ G1 là trọng tâm của tam giác BDA’.

Chứng minh tương tự đối với điểm G2.

c) *Vì G1 là trọng tâm của ΔAA’C nên AG1/AI = 2/3 .

Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = 1/2.AC’

Từ các kết quả này, ta có : AG1 = 1/3.AC’

*Chứng minh tương tự ta có : C’G2 = 1/3.AC’

Suy ra : AG1 = GG2 = G2C’ = 1/3.AC’.

d) Thiết diện chính là hình bình hành AA’C’C.