Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:
.PNG)
Lời giải:
a.Với n = 1, ta có:
VT = 3 – 1 = 2
VP = (3 + 1)/2
Vậy VT = VP (1) đúng với n = 1
Giả thiết (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:
2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = k(3k + 1)/2 (1a)
Ta chứng minh (1a) đúng với n = k + 1 nghĩa là chứng minh:
.PNG)
Vậy (2) đúng với n = 1
Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:
.PNG)
.PNG)
Vậy (3) đúng với n = 1
*giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là:
Ta phải chứng minh (3a) đúng khi n = k + 1
+ Ta cộng 2 vế của (3) cho (k + 1)2
.PNG)
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1. Do đó, đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*
Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*
a. n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.
b. 4n + 15n – 1 chia hết cho 9
b.4n + 15n – 1 chia hết cho 9
đặt An = 4n + 15n – 1
với n = 1 => A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9
+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:
Ak = (4k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)
+ Ta chứng minh: Ak+1 chia hết 9
Thật vậy, ta có:
Ak+1 = (4k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4k.41 + 15k + 15 – 1
= (4k + 15k – 1) + (3.4k + 15) = Ak + 3(4k + 5)
Theo giả thiết quy nạp Ak chia hết 9, hơn nữa:
3(4k + 5) chia hết 9 ( chứng minh tương tự) ∀k≥ 1 nên Ak+1 chia hết 9
Vậy An = 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*
c.n3 + 11n chia hết cho 6.
Đặt Un = n3 + 11n
+ Với n = 1 => U1 = 12 chia hết 6
+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:
Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)
Ta chứng minh: Uk+1 chia hết 6
Thật vậy ta có:
Uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k +1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11
= (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12 = Uk + 3(k2 + k + 4)
+ Theo giả thiết quy nạp thì:
Uk chia hết 6, hơn nữa 3(k2 + k + 4) = 3(k(k + 1)+ 4) chia hết 6 ∀k≥ 1 ( 2 số liên tiếp nhân với nhau chia hết cho 2)
Do đó: Uk+1 chia hết 6
Vậy: Un = n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*
Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:
a.3n > 3n + 1
b.2n+1 > 2n + 3
Lời giải:
a.3n > 3n + 1 (1)
+ Với n = 2 thì (1) <=> 8 > 7
Luôn luôn đúng khi x = 2
+ giả thiết mệnh đề (1) đúng khi
n = k ≥ 2, nghĩa là 3k > 3k + 1
Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 nghĩa là chứng minh:
3k+1 = 3.3k > 3(3k + 1) (theo giả thiết)
3(3k + 1) = 9k + 3 = 3(k +1) + 6k > 3(k + 1) (vì k > 2)
Vậy 3k+1 >3(k + 1) + 1
Mệnh đề đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ≥ 2
b. 2k+1 > 2n + 3
+ Với n = 2, ta có: 23 = 8 > 2.2 + 3 = 7
Vậy mệnh đề đúng khi x = 2.
+ giả thiết mệnh đề đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2k+1 > 2k + 3 (2)
+ Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n = k + 1, nghĩa là chứng minh:
2[(k+1)+1] > 2(k + 1) + 3 hay 2k+2 > 2k + 5
Nhân hai vế của (2) cho 2, ta được:
2k+1.2 = 2k+1 > 2(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + (2k + 6) (3)
Mà k ≥ 2 => 2k + 6 = 2.2 + 6 = 10 > 5
(3) => 2k+1 > 2k + 5 (2)
Mệnh đề đúng với n = k + 1 nên cũng đúng ∀ n ∈ N*.
Bài 4 (trang 83 SGK Đại số 11):
a.Tính S1, S2, S3
b.Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.
Lời giải:
.PNG)
Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp
Với n = 1 thì (1) đúng
Giả sử (1) đúng với n = k, ta có:
.PNG)
Vậy (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ∈ N*
Bài 5 (trang 83 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n-3)/2
Lời giải:
Số đoạn thẳng (cả cạnh và đường chéo) trong một đa giác lồi n cạnh là Cn2 đoạn thẳng. Suy ra số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:
.PNG)
c. n3 + 11n chia hết cho 6.
Lời giải:
Đặt An = n3 + 3n2 + 5n
+ Ta có: với n = 1
A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3
+giả sử với n = k ≥ 1 ta có:
Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)
+ Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3
Thật vậy, ta có:
A(k + 1) = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9
Theo giả thiết quy nạp Ak chia hết 3, hơn nữa 9(k + 1) chia hết 3
Nên An = n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*
