Bài 1 (trang 103 SGK Đại số 11):
.PNG)
Lời giải:
Để chứng minh dãy (un) là cấp số nhân thì ta chứng minh:
un+1 = un.q với n ∈ N*
(q là công bội cấp số nhân)
.PNG)
.PNG)
Bài 2 (trang 103 SGK Đại số 11): Cho cấp số nhân (un) với công bội q
a.Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q
b.Biết q = 2/3 , u4 = 8/21 . Tìm u1
.Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?
Lời giải:
a.Theo công thức un = u1.qn-1, thay n = 6 ta được:
u6 = u1q5 = 2.q5 = 486
q5 = 243 = 35 => q = 3
c.Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số thứ mấy?
Ta có: un = u1.qn-1 = 192
qn-1 = 192/u1 = 192/3 = 64
(-2)n = – 128 = (-2)7 => n = 7
Vậy số 192 là số hạng thứ 7.
Bài 3 (trang 103 SGK Đại số 11): Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết:
a.u3 = 3 và u5 = 27
b.u4 – u2 = 25 và u3 – u1 = 50
Lời giải:
a. Ta có: un = u1qn-1
.PNG)
Vậy q = ± 3.
+ Cấp số nhân (un) có công bội q có thể viết dưới dạng:
u1, u1q, u1q2,…,u1.qn-1
Với q = 3 ta có cấp số : 1/3 , 1, 3, 9, 27
Với q = – 3 ta có cấp số: 1/3 , -1, 3, -9, 27
.PNG)
Bài 4 (trang 104 SGK Đại số 11): Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.
Lời giải:
Gọi u1, u2, u3, u4, u5, u6 là cấp số nhân của 6 số hạng.
+ Tổng của 5 số hạng đầu là 31 và 5 số hạng sau là 62, nghĩa là:
Ta có: (2) – (1) <=> u6 – u1 = 31
Mà u6 = u1.q6-1 = u1.q5
=> u1.q5 – u1 = 31 <=> u1(q5 – 1) = 31 (3)
Mặt khác, tổng của 5 số hạng đầu là:
=> q – 1 = 1 => q = 2. Tính ra ta được u1 = 1.
Với un = u1qn-1
=> u2 = 2; u3 = 4, u4 = 8, u5 = 16, u6 = 32
Vậy cấp số nhân cần tìm là: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Bài 5 (trang 104 SGK Đại số 11): Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng dân số của tỉnh hiện nay là 1, 8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm thì dân số của tỉnh đó tăng bao nhiêu?
Lời giải:
Theo tỷ lệ tăng dân số 1,4% thì dân số hàng năm của tỉnh x là các số hạng của cấp số nhân với công bội q = 1 + 14/1000 = 1.014
Và số hạng đầu u1 = 1,8 triệu
Theo công thức: un = u1qn-1
=> Dân số của tỉnh x sau 5 năm sau là:
u6 = 1,8.(1.014)5 ≈ 1.9 triệu (người)
Vậy sân số sau 10 năm là: u11 = 1,8.(1.014)10 ≈ 2.1 triệu (người).
Bài 6 (trang 104 SGK Đại số 11): Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C1 (hình bên). Từ hình vuông C2 lại tiếp tục như trên để được hình vuông C3… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C1, C2, C3, …,Cn
Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân.
Lời giải:
Cạnh của hình vuông C1 là: a1 = 4 (giả thiết)
Theo giả thiết cạnh hình vuông chia thành 4 phần bằng nhau nên theo định lí Pi-ta-go (Pythagore), ta có:
– cạnh hình vuông thứ hai:
– cạnh hình vuông thứ ba:
Vậy dãy số (an) là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 4, công bội q = √(10)/4
