Giải bài tập Tứ giác SBT toán 8 T1

Câu 1: Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tai mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).

Lời giải:

Ta có: ∠A1 + ∠B1 + ∠C1 + ∠D1 = 360^o (tổng các góc của tứ giác)

Tại mỗi đỉnh của tứ giác tổng một góc trong và một góc ngoài bằng 180^o nên:

∠A1 + ∠A2 + ∠B1 + (∠B2 + ∠C1 + ∠C2 + ∠D1 + ∠D2) = 180^o.4 = 720^o

⇒ ∠A2 + (∠B2 +∠C2 + ∠D2 = 720^o – (∠A1 +∠B1 +∠C1 + ∠D1)

= 720^o – 360^o = 360^o

Câu 2: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA.

a, Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC.

b, Cho biết B = 100^o, D = 70^o, tính góc A và góc C.

Lời giải:

a, Ta có: BA = BC (gt). Suy ra điểm B thuộc đường trung trực của AC.

Lại có: DA = DC (gt). Suy ra điểm D thuộc đường trung trực của AC.

Vì B và D là 2 điểm phân biệt cùng thuộc đường trung trực của AC nên đường thẳng BD là đường trung trực của AC.

b, Xét ΔBAD và ΔBCD, ta có:

BA = BC (gt)

DA = DC (gt)

BD cạnh chung

Suy ra: ΔBAD = ΔBCD (c.c.c)

⇒ ∠(BAD) = ∠(BCD)

Mặt khác, ta có: ∠(BAD) + ∠(BCD) + ∠(ABC) + ∠(ADC) = 360^o

Suy ra: ∠(BAD) + ∠(BCD) = 360^o – (∠(ABC) + ∠(ADC) )

2∠(BAD) = 360^o – (100^o + 70^o) = 190^o

⇒ ∠(BAD) = 190^o : 2 = 95^o

⇒ ∠(BCD) = ∠(BAD) = 95^o

Câu 3: Vẽ lại tứ giác ABCD ở hình 1 vào vở bằng cách vẽ hai tam giác

Lời giải:

– Vẽ tam giác ABD

+ Vẽ cạnh AD dài 4cm

+ Tại A vẽ cung tròn tâm A bán kính 2,5cm

+ Tại D vẽ cung tròn tâm D bán kính 3cm

+ Hai cung tròn cắt nhau tại B

⇒ Ta được tam giác ABD

– Vẽ tam giác DBC

+ Dùng thước đo độ vẽ tia Bx sao cho góc DBx = 60^o

+ Trên Bx xác định C sao cho BC = 3cm

⇒ Ta được tam giác BDC

⇒Ta được tứ giác ABCD cần vẽ

Câu 4: Tính các góc của tứ giác ABCD, biết rằng: ∠A: ∠B: ∠C: ∠D= 1 : 2 : 3 : 4

Lời giải:

Câu 5: Tứ giác ABCD có ∠A = 65^o, ∠B = 117^o, ∠C = 71^o. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D.

Lời giải:

Trong tứ giác ABCD, ta có:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360^o (tổng các góc của tứ giác)

⇒ ∠D = 360^o – (∠A + ∠B + ∠C)

= 360^o – (65^o + 117^o + 71^o) = 107^o

∠D + ∠D1 = 180^o (2 góc kề bù) ⇒ ∠D1 = 180^o – ∠D1 = 180^o – 107^o = 73^o

Câu 6: Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.

Lời giải:

Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn 360^o. Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn. Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều la góc tù thì tổng bốn góc của tứ giác lớn hơn 36^0o. Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.

Câu 7: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh B và D.

Lời giải:

* Gọi ∠A1, ∠C1là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C, ∠A2, ∠C2là góc ngoài tại đỉnh A và C.

Ta có: ∠A1+ ∠A2 = 180^o (2 góc kề bù)

⇒ ∠A2= 180^o – ∠A1

∠C1+ ∠C2= 180^o (2 góc kề bù) ⇒ ∠C2= 180^o – ∠C1

Suy ra: ∠A2+ ∠C2= 180^o – ∠A1+ 180^o – ∠C1= 360^o – (∠A1 + ∠C1) (1)

* Trong tứ giác ABCD ta có:

∠A1+ B + ∠C1 + ∠D = 360^o (tổng các góc của tứ giác)

⇒ ∠B + ∠D = 360^o – ∠A1 + ∠C1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠A2+ ∠C2 = ∠B + ∠D

Câu 8: Tứ giác ABCD có A = 101^o, B = 100^o. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính (CED), (CFD).

Lời giải:

Trong tứ giác ABCD, ta có:

A + B + C + D = 360^o

⇒ C + D = 360^o – (A + B )

= 360^o – (110^o + 100⁰ ) = 150^o

C1 + D1 = (C + D )/2 = 150o/2 = 75^o

Trong CED ta có:

(CED) = 180^o – (C1 + D1 ) = 180^o – 75^o = 105^o

DE ⊥ DF (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ (EDF) = 90^o

CE ⊥ CF (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ (ECF) = 90^o

Trong tứ giác CEDF, ta có: (DEC) + (EDF) + (DFC) + (ECF) = 360^o

⇒ (DFC) = 360^o – ((DEC) + (EDF) + (ECF))

(DFC) = 360^o – (105^o + 90^o + 90^o) = 75^o

Câu 9: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

* Trong ΔOAB, ta có:

OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)

* Trong ΔOCD, ta có:

OC + OD > CD (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng từng vế (1) và (2):

OA + OB + OC + OD > AB + CD

⇒ AC + BD > AB + CD

Câu 10: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.

Lời giải:

Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.

* Trong ΔOAB, ta có:

OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)

* Trong ΔOCD, ta có:

OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)

* Trong ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)

* Trong ΔOBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d