Câu 1: Hình thang cân ABCD có AB //CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng: DC = CK
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:
∠(AHD) = ∠(BKC) = 90o
AD = BC (tính chất hình thang cân)
∠C = ∠D (gt)
Suy ra: ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ HD = KC
Câu 2: Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA = OB, OC = OD.
Lời giải:
Xét ΔADC và ΔBCD, ta có:
AD = BC (tính chất hình thang cân)
∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)
DC chung
Do đó: ΔADC = ΔBCD (c.g.c) ⇒ ∠C1= ∠D1
Trong ΔOCD ta có: ∠C1= ∠D1 ⇒ ΔOCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)
AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN
a, Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
b, Tính các góc của tứ giác BMNC biết rang góc ∠A = 40o
Lời giải:
a, ΔABC cân tại A
⇒∠B = ∠C = (180o– ∠A) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)
AB = AC (gt) ⇒ AM + BM = AN + CN
Mà BM = CN (gt) ⇒ AM = AN
⇒ ΔAMN cân tại A
⇒∠M1 = ∠N1 = (180o– ∠A) / 2 (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠M1 = ∠B
⇒ MN // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Tứ giác BCNM là hình thang có B = C
Vậy BCNM là hình thang cân.
b, ∠B = ∠C = (180o – 40o) / 2 = 70o
Mà ∠M2+ ∠B = 180o – 70o = 110o
∠N2= ∠M2= 110o (tính chất hình thang cân)
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Lời giải:
Xét hai tam giác AEB và AFC
Có AB = AC (ΔABC cân tại A)
∠ABE = ∠B/2 = ∠C/2 = ∠ACF
∠A là góc chung
⇒ ΔAEB = ΔAFC (g.c.g) ⇒ AE = AF ⇒ ΔAEF cân tại A
⇒ ∠AFE = (180o− ∠A) / 2 và trong tam giác ΔABC: ∠B = (180o− ∠A) / 2
⇒∠AFE = ∠B ⇒ FE//BC
⇒ Tứ giác BFEC là hình thang.
Vì FE//BC nên ta có: ∠FEB = ∠EBC (so le trong)
Lại có: ∠FBE = ∠EBC
⇒∠FBE = ∠FEB
⇒ ΔFBE cân ở F ⇒ FB = FE
⇒ Hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên (đpcm)
Câu 5: Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Lời giải:
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.
Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK
Mà AC = BD (gt)
Suy ra: BD = BK do đó ΔBDK cân tại B
⇒ ∠D1 = ∠K (tính chất hai tam giác cân)
Ta lại có: ∠C1 = ∠K (hai góc đồng vị)
Suy ra: ∠D1 = ∠C1
Xét ΔACD và ΔBDC:
AC = BD (gt)
∠D1 = ∠C1 (chứng minh trên)
CD chung
Do đó ΔACD = ΔBDC (c.g.c) ⇒ ∠(ADC) = ∠(BCD)
Hình thang ABCD có ∠(ADC) = ∠(BCD) nên là hình thang cân.
Câu 6: Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bang 50o
Lời giải:
Giả sử hình thang ABCD có AB // CD và ∠D = 50o
Vì ∠C = ∠D (tính chất hình thang cân)
⇒ ∠C = 50o
∠A + ∠D = 180o (hai góc trong cùng phía)
⇒ ∠A = 180o – ∠D = 180o – 50o = 130o
∠B = ∠A (tính chất hình thang cân)
Suy ra: ∠B = 130o
Câu 7: Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.
Lời giải:
Ta có:
AB = AD (gt)
AD = BC (tính chất hình thang cân)
⇒ AB = BC do đó AABC cân tại B
⇒ ∠A = ∠C (tính chất tam giác cân)
Mặt khác: AB//CD (gt)
∠A1 = ∠C2 (hai góc so le trong)
Suy ra: ∠C1 = ∠C2
Vậy CA là tia phân giác của (BCD)
Câu 8: Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại 0. Biết rằng OA = OC, OB = OD. Tứ giác ABCD là hình gì ? Vì sao
Lời giải:
Ta có: OA = OC (gt)
⇒ ΔOAC cân tại O
⇒∠A1= (180o – ∠(AOC) ) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)
OB = OD (gt)
⇒ ΔOBD cân tại O
⇒ ∠B1= (180o – ∠(BOD) )/2 (tính chất tam giác cân) (2)
∠(AOC) = ∠(BOD) (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: ∠A1 = ∠B1
⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị tri so le trong bằng nhau)
Suy ra: Tứ giác ABCD là hình thang
Ta có: AB = OA + OB
CD = OC + OD
Mà OA = OC, OB = OD
Suy ra: AB = CD
Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.
Câu 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE
a, Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao
b, Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD =DE = EC?
Lời giải:
a, AD = AE (gt)
⇒ ΔADE cân tại A ⇒∠(ADE) = (180o- ∠A )/2
ΔABC cân tại A ⇒ ∠(ABC) = (180o- ∠A )/2
Suy ra: ∠(ADE) = ∠(ABC)
⇒ DE // BC (Vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Tứ giác BDEC là hình thang
∠(ABC) = ∠(ACB) (tính chất tam giác cân) hay ∠(DBC) = ∠(ECB)
Vậy BDEC là hình thang cân.
b, Ta có: BD = DE ⇒ ΔBDE cân tại D
∠B1 = ∠E1
Mà ∠E1 = ∠B2(so le trong)
⇒ ∠B1 = ∠B2
DE = EC ⇒ ΔDEC cân tại E
⇒ ∠D1 = ∠C1
∠D1 = ∠C2(so le trong)
⇒ ∠C1 = ∠C2
Vậy khi BE là tia phân giác của ∠(ABC), CD là tia phân giác của ∠(ACB) thì BD = DE = EC.
Câu 10: Hình thang cân ABCD có 0 là giao điểm của hai đường thắng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.
Lời giải:
Ta có: ∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)
⇒ ∠(ODC) = ∠(OCD)
⇒ΔOCD cân tại O
⇒ OC = OD
OA + AD = OB + BC
Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)
⇒ OA = OB
Xét ΔADC và. ΔBCD:
AD = BC (chứng minh trên)
AC = BD (tính chất hình thang cân)
CD chung
Do đói ΔADC và ΔBCD (c.c.c)
⇒ ∠D1= ∠C1
⇒ΔEDC cân tại E
⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD
OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD
E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.
Ta có: BD= AC (chứng minh trên)
⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC
⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB
OA = OB nên O thuộc đường trung trực của AB
E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.
