Giải bài tập Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông SGK Toán 9

bài 1 trang 68 sgk tập 1

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau (hình 4a, b):

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

a) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới:

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$BC=sqrt{AB^2+AC^2}=sqrt{6^2+8_{_{_{^{^{ }}}}}^2}=10$

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

$HC=BC=BH=10-3,6=6,4$

Hay: x = 3,6; y = 6,4

b) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Ta vẽ hình và đặt tên thích hợp:

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có:

$AB^2=BH.BC=20.xRightarrow x=frac{AB^2}{BC}=frac{12^2}{20}=7,2$

$HC=BC-BH=20-7,2=12,8$

Hayx = 7,2; y = 12,8

bài 2 trang 68 sgk tập 1

Hãy tính x và y trong hình dưới đây:

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

Từ đề bài ta có cạnh huyền của tam giác có độ lớn là: 1 + 4 = 5

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đó là bình phương cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của cạnh ấy trên cạnh huyền, ta được:

$x^2=1.5Leftrightarrow x=sqrt{5}$ $x^2=1.5Leftrightarrow x=sqrt{5}$

$y^2=5.4Leftrightarrow y=2sqrt{5}$

Giải bài tập Toán 9 bài 3 trang 69 sgk tập 1: Hãy tính x và y trong hình sau:

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

Cạnh huyền của tam giác vuông = y:

$Rightarrow y=sqrt{5^2+7^2}=sqrt{74}$

Áp dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông, ta có:

$frac{1}{x^2}=frac{1}{5^2}+frac{1}{7^2}$

$Rightarrow x=sqrt{frac{5^2.7^2}{5^2+7^2}}=frac{35sqrt{74}}{74}$

Giải bài tập Toán 9 bài 4 trang 69 sgk tập 1: Hãy tính x và y trong hình sau:

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình bên dưới

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Áp dụng hện thức h² = b'c' ta có:

$AH^2=HB.HCRightarrow=frac{AH^2}{HB}=4$

$AC^2=BC.HCRightarrow y^2=5.4=20Rightarrow y=sqrt{20}=2sqrt{5}$

Nhận xét: Ta có thể tính y theo định lý Pi-ta-go:

$y^2=2^2+4^2=20Rightarrow y=sqrt{20}=2sqrt{5}$

bài 5 trang 69 sgk tập 1: Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$BC=sqrt{AB^2+AC^2}=sqrt{3^2+4^2}=5$

Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác ABC vuông tại A, AHB vuông tại H, AHC vuông tại H, ta có:

$AH.BC=AB.ACRightarrow AH=frac{AB.AC}{BC}=frac{3.4}{5}=2,4$

$AB^2=BC.BHRightarrow BH=frac{AB^2}{BC}=frac{3^2}{5}=1,8$

CH = BC – BH = 5 – 1,8 = 3,2

Giải bài tập Toán 9 bài 6 trang 69 sgk tập 1: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có:

$AH^2=BH.CHRightarrow AH=sqrt{BH.CH}=sqrt{1.2}=sqrt{2}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$AH=sqrt{BH^2+AH^2}=sqrt{1+2}=sqrt{3}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$AC=sqrt{BC^2-AB^2}=sqrt{3^2-3}=sqrt{6}$

Giải bài tập Toán 9 bài 7 trang 69 sgk tập 1: Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x²=ab ) như trong hai hình sau:

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên.

Xét tam giác ABC ta có:

$OA=OB=OC=frac{BC}{2}left(=Rright)$

Suy ra ABC vuông tại A.

Áp dụng hệ thức h² = b'c' ⇒ x² = ab

Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình bên dưới

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Xét tam giác ABC ta có:

$OA=OB=OC=frac{BC}{2}left(=Rright)$

Suy ra ABC vuông tại A.

Áp dụng hệ thức AB²=BC.BH⇒x²=ab

Giải bài tập Toán 9 bài 8 trang 70 sgk tập 1: Tìm x và y trong mỗi hình sau:

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

a) Dùng hệ thức lượng bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền h²=b′c′

⇒ x²=4.9 = 36 ⇒ x = 6

b) Xét tam giác ABC có cạnh huyền là 2x, ta nhận thấy rằng, tam giác này là tam giác vuông cân. Mặc khác, đường cao của tam giác này có độ lớn bằng 2 nên:

$2x=sqrt{y^2+y^2}=sqrt{8+8}=4Rightarrow x=2$

c) Xét tam giác vuông lớn, ta có:

12² = 16x ⇒ x = 9

Xét tam giác vuông có cạnh huyền là y, ta có:

$y^2=sqrt{12^2+9^2}=15$

Giải bài tập Toán 9 bài 9 trang 70 sgk tập 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng

a) Tam giác DIL là một tam giác cân;

b) Tổng $frac{1}{DI^2}+frac{1}{DK^2}$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.