Câu 1: Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào:
a, Chiều dài tăng 3 lẩn, chiều rộng không thay đổi?
b, Chiều rộng giảm 2 lần, chiều dài không thay đổi?
c, Chiều dài và chiếu rộng đều tăng 4 lần?
d, Chiều dài tăng 4 lần, chiếu rộng giảm 8 lần?
Lời giải:
Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật S = ab thì diện tích của hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiếu dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó. Gọi chiều dài-hình chữ nhật là a, chiều rộng là b, diện tích là S, chiếu dài mới a', chiều rộng b', diện tích S'.
a, Nếu a' = 3a, b' = b ⇒ S' = a'.b' = 3ab = 3S. Diện tích hình mới bằng 8 lần diện tích hình đã cho.
b,Nếu b' = 1/2 b, a' = a ⇒ S' =a'.b' = a. 1/2 b = 1/2 ab = 1/2 S
Diện tích hình mới bằng một nửa diện tích hình đã cho.
c, Nếu a' = 4a, b' = 4b ⇒ S' = a'.b' = 4a.4b = 16ab = 16S.
Diện tích hình mới bằng 16 lần diện tích hình đã cho.
d, Nếu a' = 4a, b' = 1/3 b ⇒ S' = a'.b' = 4a.1/3 b = 4/3 ab = 4/3 S.
Diện tích hình mới bằng 4/3 diện tích hình đã cho.
Câu 2: Diện tích của một hình chữ nhật bằng 48 cm2, một cạnh của nó có độ dài 8cm. Đường thẳng song song với một trong các cạnh của hình chữ nhật chia hình chữ nhật đó thành hai hình chữ nhật bằng nhau. Tính chu vi của mỗi hình chữ nhật được tạo thành.
Lời giải:
Diện tích hình chữ nhật 48 cm2, một cạnh có độ dài bằng 8 cm, độ dài cạnh kia: 48 : 8 = 6 (cm)
a, Chia hình chữ nhật bởi trung điểm của chiều dài thì ta có hai hình chữ nhật bằng nhau có kích thước là 4 cm và 6cm.
Chu vi mỗi hình là: (4 + 6).2 = 20 (cm)
b, Chia hình chữ nhật bởi trung điểm của chiều rộng thì ta có hai hình chữ nhật bằng nhau có kích thước là 8 cm và 3 cm.
Chu vi mỗi hình là: (8 + 3).2 = 22 (cm)
Câu 3: Tính các cạnh của một hình chữ nhật, biết bình phương của độ dài một cạnh bằng 16 và diện tích của hình chữ nhật bằng 28cm2
Lời giải:
Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là a và b (a > 0, b > 0)
Theo bài ra, giả sử ta có: a2 = 16 và ab = 28
a2 = 16 ⇒ a = 4 (cm) (vì a > 0) ⇒ b = 28 : a = 28 : 4 = 7 (cm)
Vậy hai kích thước là 4cm và 7cm.
Câu 4: Tính các cạnh của một hình chữ nhật, biết tỉ số các cạnh là 4/9 và diện tích của nó là 144 cm2.
Lời giải:
Gọi độ dài hai cạnh hình chữ nhật là a và b (0 < a < b)
Theo bài ta, ta có:
Suy ra: 4/9 b.b = 144 ⇒ b2 = 144 : 4/9 = 144.9/4 = 324 = 182
⇒ b = 18 (cm) ⇒ a = 4/9 . 18 = 8 (cm)
Câu 5: Cho tam giác vuông cân, biết độ dài cạnh huyền là l. Tính diện tích tam giác đó.
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông cân là a (0 < a < l)
Theo Pi-ta-go, ta có: a2 + a2 = l2 ⇒ a2 = l2 / 2
⇒ 
Vậy S = 1/2 a.a = 1/2 a2 = 1/2 .l2 / 2 = 1/4 l2
Câu 6: Tính diện tích các hình trong hình vẽ sau (mỗi ô vuông là một đơn vị diện tích). Hãy giải thích vì sao tính được như vậy.
Lời giải:
Hình A cắt rời thành hai tam giác ghép lại được một hình chữ nhật có một cạnh 3 ô vuông và một cạnh 2 ô vuông nên có diện tích ô vuông (6 đơn vị diện tích)
Hình B là một hình thang cân, cắt theo đường cao kẻ từ một đỉnh của đáy nhỏ ghép lại tạ được một hình chữ nhật có một cạnh 3 ô vuông và một cạnh 24 ô vuông nên diện tích bằng 6 ô vuông (6 đơn vị diện tích).
Hình C là hình thang vuông, cắt phẩn nhọn ghép lên phẩn trên, ta được một hình chữ nhật có một cạnh là 8 ô vuông và một cạnh 2 ô vuông nên diện tích bằng 6 ô vuông (6 đơn vị diện tích).
Hình D ta lấy diện tích hình vuông có cạnh 5 ô vuông trừ đi phần khuyết của 4 góc mỗi góc là một nửa ô vuông ta có diện tích là 5 x 5 – 4. 1/2 = 25 – 2 = 23 ô vuông (23 đơn vị diện tích).
Câu 7: Cho hình bình hành ABCD (như hình vẽ). Từ A và C kẻ AH và CK vuông góc với đường chéo BD. Chứng minh rằng hai đa giác ABCH và ADCK có cùng diện tích.
Lời giải:
Ta có:
ΔABC = ΔADC (c.c.c) ⇒ SABC = SADC (1)
ΔAHC = ΔAKC (c.c.c) ⇒ SAHC = SAKC (2)
Từ (l) và (2) ⇒ SABC + SAHC = SADC + SAKC
Hay SABCH = SADCK
Câu 8: Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác của các góc A và C cắt đường chéo BD tại E, F.
a, Chứng minh hai hình ABCFE và ADCFE có cùng diện tích.
b, Các hình đó có phải là đa giác lồi không? Vì sao?
Lời giải:
a, Ta có:
ΔABE = ΔCDF (g.c.g) ⇒ SABE = SCDF (l)
ΔAED = ΔCFB (g.c.g) ⇒ SAED = SCFB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SABE + SCFB = SCDF + SAED
Hay SABCFE = SADCFE
b, Hình ABCFE không phải là đa giác lồi vì nó năm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh EF.
Hình ADCFE không phải là đa giác lồi vì nó năm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh EF.
Câu 9: Trên hình vẽ bên dưới, các tứ giác ABCD, EFCH đều là hình bình hành. Điểm E nằm trên đường chéo AC.
a, Chứng minh rằng đa giác AEHD và hình ABCFE có diện tích bằng nhau
b, ABCFE có phải là đa giác lồi không? Vì sao?
Lời giải:
a, Ta có:
ΔABC = ΔCDA (c.c.c) ⇒ SABC = SCDA (1)
ΔEFC = ΔCHE (c.c.c) ⇒ SEFC = SCHE (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SABC – SEFC = SCDA – SCHE
Hay SABCFE = SAEHD
b, Hình ABCFE không phải là tứ giác lồi vì nó nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh CF.
Câu 10: Cho một tam giác vuông cân. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền.
Lời giải:
Gọi S là diện tích của tam giác ABC.
Hình vuông có cạnh AB được chia thành hai tam giác vuông cân bằng ΔABC nên diện tích hình vuông cạnh AB bằng 2S.
Hình vuông có cạnh AC được chia thành hai tam giác vuông cân bằng ΔABC nên diện tích hình vuông cạnh AB bằng 2S.
Hình vuông cạnh BC được chia thành bốn hình tam giác vuông cân bằng ΔABC nên có diện tích bằng 4S.
Vì 4S = 2S + 2S nên diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông.
