Câu 1: Tìm x, biết đa giác ở hình vẽ có diện tích bằng 3375 m2
Lời giải:
Hình đa giác đã cho gồm một hình thang và một hình tam giác.
Diện tích phần hình thang là S1, tam giác là S2, ta có:
S1 = (50 + 70) / 2 .30 = 1800 (m2)
S2 = S – S1 = 3375 – 1800 = 1575 (m2)
Chiều cao h của tam giác là: h = (2.S2) / 70 = (2.1575) / 70 = 45 (m)
Vậy x = 45 + 30 = 75 (m)
Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5cm, BC = 3cm. Vẽ hình bình hành ABEF có cạnh AB = 5cm và diện tích bằng diện tích hình chữ nhật. Vẽ được bao nhiêu hình như vậy?
Lời giải:
Trên cạnh CD ta lấy 1 điểm E bất kỳ (E khác C và D). Nối BE. Từ A kẻ đường thẳng song song với BE cắt đường thẳng CD tạị F. Ta có hình bình hành ABEF có cạnh AB và có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật.
Ta có: SABCD = AB.AD
SABEF = AB.AD ⇒ SABCD = SABEF
Có thể vẽ được vô số hình như vậy.
Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5cm, BC=3cm. Vẽ hình bình hành ABEF có cạnh AB = 5cm, BE = 5cm và có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình như vậy?
Lời giải:
Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5cm cắt CD tại 2 điểm E và E’.
Nối BE, từ A kẻ đường thẳng song song với BE cắt CD tại F.
Nối BE’, từ A kẻ đường thẳng song song với BE’ cắt CD tại F’.
Ta có hình bình hành ABEF và hình bình hành ABE’F’ có cạnh AB = 5cm, BE = 5cm, BE’ = 5cm có diện tích bằng điện tích hình chữ nhật ABCD.
Có thể vẽ được hai hình như vậy.
Câu 4: Tính diện tích hình thang vuông, biết hai đáy có độ dài là 2cm, 4cm, góc tạo bởi một cạnh bên và đáy lớn có số đo bằng 45o.
Lời giải:
Giả sử hình thang vuông ABCD có:
∠A = ∠D = 90o; ∠C = 45o
Kẻ BE ⊥ CD
Tam giác vuông BEC có ∠(BEC) = 90o cân tại E ⇒ BE = EC
Hình thang ABCD có hai cạnh bên AD // BE (vì cùng vuông góc với DC) ⇒ DE = AB = 2cm
EC = DC – DE = 4 – 2 = 2 (cm) ⇒ BE = 2cm
SABCD = 1/2 .BE(AB+ CD) = 1/2 .2.(2 + 4) = 6 (cm2)
Câu 5: Tính diện tích hình thang, biết các dây có độ dài là 7cm và 9cm, một trong các cạnh bên dài 8cm và tạo với đây một góc có số đo bằng 30o
Lời giải:
Giả sử hình thang ABCD có đáy AB = 7Cm và CD = 9cm , cạnh bên BC = 8cm, C = 30o
Kẻ BE ⊥ CD. Tam giác vuông GBE có ∠E = 90o, ∠C = 30o
Suy ra ∠(CBE) = 60o nên nó là một nửa tam giác đều có cạnh là CB.
⇒ BE = 1/2 CB = 4 (cm)
Vậy SABCD = (AB + CD) / 2 .BE = (7 + 9) / 2 .4 = 32 (cm2)
Câu 6: Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua trung điểm của đường trung bình của hình thang và cắt hai dây hình thang sẽ chia hình thang đó thành hai hình thang có diện tích bằng nhau.
Lời giải:
Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, đường trung bình là MN. Gọi I là trung điểm của MN, đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt AB tại P và CD tại Q.
Ta có hai hình thang APQD và BPQC có cùng đường cao.
MI là đường trung bình của hình thang APQD.
Suy ra: MI = 1/2 (AP + QD)
IN là đường trung bình của hình thang BPQC.
Suy ra: IN = 1/2 (BP + QC)
SAPQD = 1/2 (AP + QD).AH = MI.AH (1)
SBPQC = 1/2 (BP + QC).AH = IN.AH (2).
IM = IN (gt) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: SAPQD = SBPQC, các giá trị này không phụ thuộc vào vị trí của P và Q.
Câu 7: Một hình chữ nhật có các kích thước a và b. Một hình bình hành cũng có hai cạnh là a và b. Tính góc nhọn của hình bình hành nếu diện tích của nó bằng một nửa diện tích hình chữ nhật (a và b có cùng đơn vị đo).
Lời giải:
* Xét hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = a, chiều rộng AD = b.
Ta có: SABCD = ab.
* Hình bình hành MNPQ có góc M là góc tù, MN = a, cạnh MQ = b
Kẻ đường cao MH. Ta có: SMNPQ = MH.a
Theo bài ra, ta có: MH.a = 1/2 ab
Suy ra: MH = 1/2 b hay MH = MQ/2
Tam giác MHQ vuông tại H và MH = MQ/2
Cạnh đối diện góc nhọn bằng một nửa cạnh huyền nên ∠(MQH) = 30o
Vậy góc nhọn của hình bình hành bằng 30o.
Câu 8: Hai cạnh của một hình hình hành có độ dài là 6cm và 8cm. Một trong các đường cao có độ dài là 5cm. Tính độ dài đường cao thứ hai. Hỏi bài toán có mấy đáp số.
Lời giải:
Giả sử hình bình hành ABCD cói AB = 8cm, AD = 6cm.
Kẻ AH ⊥ CD, AK ⊥ BC. Ta có 5 < 6, 5 < 8
Đường cao là cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền thỏa mãn có hai trường hợp:
*Trường hợp 1: AK = 5cm
Ta có: SABCD = AK.BC = 5.6 = 30 (cm2)
SABCD = AH.AD = 8.AH
Suy ra: 8.AH = 30 ⇒ AH = 30/8 = 15/4 (cm)
*Trường hợp 2: AH = 5cm
Ta có: SABCD = AH.CD= 5.8 = 40 (cm2)
SABCD = AK.BC = 6.AH
Suy ra: 6.AK = 40 ⇒ AK = 40/6 = 20/3 (cm)
Vậy đường cao thứ hai có độ dài là 15/4 cm hoặc 20/3 cm
Bài toán có hai đáp số.
