Giải bài tập Hình chữ nhật SGK Toán 8

Câu 1: Tính đường chéo d của một hình chữ nhật, biết các cạnh a = 3cm, b = 5cm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Giả sử hình chữ nhật ABCD có AB = a = 3cm; BC = b = 5cm; AC = d.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có:

d² = a² + b²

⇒ d² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34

Vậy d √34 (cm).

Câu 2: Chứng minh rằng trong hình chữ nhật:

a, Giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình.

b, Hai đường thẳng đi qua trung điểm, của hai cạnh đối là trục đối xứng của hình.

Lời giải:

a, Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.

Vì hình chữ nhật là một hình bình hành nên điểm O là tâm đối xứng của nó.

b, Trong hình thang cân, đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy là trục đối xứng của nó.

Theo định nghĩa ta có hình chữ nhật cũng là một hình thang cân. Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai cạnh đáy AB và CD thì đường thẳng d1 đi qua trung điểm của AB và CD là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.

Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai cạnh đáy AD và BC thì đường thẳng d1 đi qua trung điểm của AD và BC là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.

Câu 3: Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 5cm và 10cm. (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có ∠A = 90o, M trung điểm BC; AB = 5cm, AC = 10cm

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB² + AC²

BC = √(5² + 10² ) = √125 ≈ 11,2 (cm)

Mà AM = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)

⇒ AM = 1/2 .11,2 = 5,6 (cm)

Câu 4: Tính x trong hình dưới.

Lời giải:

Kẻ BH ⊥ CD,ta có: ∠A = 90^o, ∠D = 90^o, ∠(BHD) = 90^o

Suy ra tứ giác ABHD là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

⇒ AB = DH, BH = AD

HC = CD – DH = CD – AB = 24 – 16 = 8 (cm)

Trong tam giác vuông BHC, theo định lý Pi-ta-go, ta có:

BC² = BH² + HC²

⇒ BH² = BC² – HC²

BH² = l7² – 8² = 289 – 64 = 225

BH = √225 = 15 (cm)

Vậy x = AD = BH = 15 (cm).

Câu 5: Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của hình bỉnh hành cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật.

Lời giải:

Gọi G, H, E, F lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của ∠Avà ∠B; ∠Bvà ∠C; ∠Cvà ∠D; ∠Dvà ∠A

Ta có: ∠(ADF) = 1/2 ∠(ADC) (gt)

∠(DAF) = 1/2 ∠(DAB) (gt)

∠(ADC) + ∠(DAB) = 180^o (hai góc trong cùng phía)

Suy ra: ∠(ADF) + ∠(DAF) = 1/2 (∠(ADC) + ∠(DAB) ) = 1/2 .180^o = 90^o

Trong ΔAFD, ta có:

∠(AFD) = 180^o – (∠(ADF) + ∠(DAF)) = 180^o – 90^o = 90^o

∠(EFG) = ∠(AFD) (đối đỉnh)

⇒ ∠(EFG) = 90^o

∠(GAB) = 1/2 ∠(DAB) (gt)

∠(GBA) = 1/2 ∠(CBA) (gt)

∠(DAB) + ∠(CBA) = 180^o (hai góc trong cùng phía)

⇒ (GAB) + (GBA) = 1/2 (∠(DAB) + ∠(CBA) ) = 1/2 .180^o = 90^o

Trong ΔAGB ta có: ∠(AGB) = 180^o – (∠(GAB) + ∠(GBA) ) = 1/2 .180^o = 90^o

Hay ∠G = 90^o

∠(EDC) = 1/2 ∠(ADC) (gt)

∠(ECD) = 1/2 ∠(BCD) (gt)

∠(ADC) + ∠(BCD) = 180^o (hai góc trong cùng phía)

⇒ ∠(EDC) + ∠(ECD) = 1/2 (∠(ADC) + ∠(BCD) ) = 1/2 .180^o = 90^o

Trong ΔEDC ta có: ∠(DEC) = 180^o – (∠(EDC) + ∠(ECD) ) = 1/2 .180^o = 90^o

Hay ∠E = 90^o

Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).

Câu 6: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

* Trong ΔABC, ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

Nên EF là đường trung bình của ΔABC

⇒ EF // AC và EF = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1)

* Trong ΔDAC, ta có:

H là trung điểm của AD (gt)

G là trung điểm của DC (gt)

Nên HG là đường trung bình của ΔDAC.

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta lại có: BD ⊥ AC (gt)

EF // AC (chứng minh trên)

Suy ra: EF ⊥ BD

Trong ΔABD ta có EH là đường trung bình ⇒ EH // BD

Suy ra: EF ⊥ EH hay (FEH) = 90^o

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Câu 7: Tìm các hình chữ nhật trong hình vẽ sau.

Lời giải:

– Hình a ta có:

* ∠B = ∠(HDC)

⇒ AB // DH (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Hay DH //AE

* ∠C = ∠(BDE)

⇒ DE // AC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Hay DE //AH

Vậy tứ giác AHDE là hình chữ nhật.

– Hình b: Tứ giác MNPQ có: OM = ON = OP = OQ

⇒ Tứ giác MNPQ có 2 đường chéo cắt nhau tại trưng điểm của mỗi đường và bằng nhau. Vậy MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 8: Các câu sau đúng hay sai?

a, Hình chữ nhật là tứ giác có tất cả các góc bằng nhau.

b, Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

c, Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.

Lời giải:

a, Đúng vì hình chữ nhật có 4 góc vuông.

b, Sai vì hình thang cân có 2 cạnh bên không song song có 2 đường chéo bằng nhau.

c, Đúng vì hình chữ nhật có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.

a, Tứ giác ADME là hình gì? Tính chu vi của tứ giác đó.

b, Điểm M ở vị trí nào trên BC thì đoạn DE có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải:

a, Xét tứ giác ADME, ta có:

 = 900 (gt)

MD ⊥ AB (gt)

⇒ ∠(ADM) = 90^o

Suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

ABC vuông cân tại A ⇒ ∠B = 45^o

Suy ra: DBM vuông cân tại D

⇒ DM = DB

Chu vi hình chữ nhật ADME bằng:

2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB = 2.4 = 8 (cm)

b, Gọi H là trung điểm của BC

Suy ra: AH ⊥ BC (tính chất tam giác cân)

AM ≥ AH (dấu " = " xảy ra khi M trùng với H)

Tứ giác ADME là hình chữ nhật .

⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: DE ≥ AH

Vậy DE = AH có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M là trung điểm của BC.

Câu 10: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G Gọi D là điểm đối xứng với una M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

* Ta có: G là trọng tâm của ΔABC .

⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến)

Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M

⇒ MG = MD hay GD = 2GM

Suy ra: GB = GD (l)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N

⇒ NG = NE hay GE = 2GN

Suy ra: GC = GE (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét ΔBCM và ΔCNB, có: BC cạnh chung

∠(BCM) = ∠(CBN) (tính chất tam giác cân)

CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c)

Bài viết liên quan

Phân tích thơ văn lớp 8 đầy đủ chi tiết

Lớp 8, Ngữ Văn Lớp 8

Giải bài tập Nhân đơn thức với đa thức

Lớp 8, Toán Lớp 8

Giải bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ trang 12 SGK Toán 8

Lớp 8, Toán Lớp 8