Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.
Lời giải:
Xét tứ giác AMDN, ta có: ∠(MAN) = 1v (gt)
DM ⊥ AB (gt)
⇒∠(AMD) = 1v
DN ⊥ AC (gt) ⇒∠(AND) = 1v
Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật
(vì có ba góc vuông), có đường chéo AD là đường phân giác của A
Vậy hình chữ nhật AMDN là hình vuông
Câu 2: Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)
AE = BK = CP = DQ (gt)
Suy ra: EB = KC = PD = QA
* Xét ΔAEQ và ΔBKE, ta có:
AE = BK (gt)
A = B = 90o
QA = EB (chứng minh trên)
Suy ra: ΔAEQ = ΔBKE (c.g.c) ⇒ EQ = EK (1)
* Xét ΔBKEvà ΔCPK,ta có: BK = CP (gt)
B = C = 90o
EB = KC (chứng minh trên)
Suy ra: ΔBKE = ΔCPK (c.g.c) ⇒ EK = KP (2)
* Xét ΔCPK và ΔDQP,ta có: CP = DQ (gt)
C = D = 90o
DP = CK (chứng minh trên)
Suy ra: ΔCPK = ΔDQP (c.g.c) ⇒ KP = PQ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: EK = KP = PQ = EQ
Hay tứ giác EKPQ là hình thoi.
Mặt khác: ΔAEQ = ΔBKE
⇒ ∠(AQE) = ∠(BKE)
Mà ∠(AQE) + ∠(AEQ) = 90o
⇒ ∠(BEK) + ∠(AEQ) = 90o
⇒ ∠(BEk) + ∠(QEK) + ∠(AEQ ) = 180o
Suy ra: ∠(QEK) = 180o -(∠(BEK) + ∠(AEQ))= 180o – 90o = 90o
Vậy tứ giác EKPQ là hình vuông.
Câu 3: Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K.
a, Tứ giác AHIK là hình gì?
b, Điểm I ở vị trí nào trên BC thì tứ giác AHIK là hình thoi
c, Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.
Lời giải:
a, Ta có: IK // AC (gt) hay IK // AH
Lại có: IH // AB (gt) hay IH // AK
Vậy tứ giác AHIK là hình bình hành.
b, Hình bình hành AHIK là hình thoi nên đường chéo AI là phân giác (A.)
Ngược lại AI là phân giác của ∠A. Hình bình hành AHIK có đường chéo là phân giác của một góc nên hình bình hành AHIK là hình thoi.
Vậy nếu I là giao điểm của đường phân giác của ∠A với cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.
c, Hình bình hành AHIK là hình chữ nhật
⇒ ∠A = 90o suy ra ΔABC vuông tại A. Ngược lại ΔABC có ∠A = 90o
Suy ra hình bình hành AHIK là hình chữ nhật
Vậy nếu ΔABC vuông tại A thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.
Câu 4: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông.
Lời giải:
* Xét tứ giác APQD, ta có: AB // CD (gt) hay AP // QD
AP = AB (gt)
QD = 1/2 CD (gt)
Suy ra: AP = QD
Hay tứ giác APQD là hình bình hành.
Lại có: ∠A = 90o
Suy ra tứ giác APQD là hình chữ nhật.
Mà AD = AP = 1/2 AB
Vậy tứ giác APQD là hình vuông.
⇒ AQ ⊥ PD (t/chất hình vuông) ⇒ ∠(PHQ) = 90o (1)
HP = HQ (t/chất hình vuông)
* Xét tứ giác PBCQ, ta có: PB // CD
PB = 1/2 AB (gt)
CQ = 1/2 CD (gt)
Suy ra: PB = CQ nên tứ giác PBCQ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
∠B = 90o suy ra tứ giác PBCQ là hình chữ nhật
PB = BC (vì cùng bằng AD = 1/2 AB)
Vậy tứ giác PBCQ là hình vuông
⇒ PC ⊥ BC (t/chat hình vuông) ⇒ ∠(PKQ) = 90o (2)
PD là tia phân giác ∠(APQ) ( t/chất hình vuông)
PC là tia phân giác ∠(QPB) (t/chất hình vuông)
Suy ra: PD ⊥ PC (t/chất hai góc kề bù) ⇒ ∠(HPK) = 90o (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác PHQK là hình vuông.
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = BG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Vì ΔABC vuông cân tại A nên ∠B = ∠C = 45o
Vì ΔBHE vuông tại H có ∠B = 45o nên ΔBHE vuông cân tại H.
Suy ra HB = HE
Vì ΔCGF vuông tại G, có ∠C = 45o nên ΔCGF vuông cân tại G
Suy ra GC = GF
Ta có: BH = BG = GC (gt)
Suy ra: HE = HG = GF
Vì EH // GF (hai đường thẳng cũng vuông góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);
Lại có ∠(EHG) = 90o nên HEFG là hình chữ nhật.
Mà EH = HG (chứng minh trên).
Vậy HEFG là hình vuông.
Câu 6: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm F, trên cạnh DC lấy điểm E sao cho AF = DE. Chứng minh rằng AE = BF và AE ⊥ BF.
Lời giải:
Xét ΔABF và ΔDAE,ta có: AB = DA (gt)
∠(BAF) = ∠(ADE) = 90o
AF = DE (gt)
Suy ra: ΔABF = ΔDAE (c.g.c)
⇒ BF = AE và ∠B1= ∠A1
Gọi H là giao điểm của AE và BF.
Ta có: ∠(BAF) = ∠A1+ ∠A2 = 90o
Suy ra: ∠B1+ ∠A2 = 90o
Trong ΔABH,ta có: ∠(AHB) + ∠B1+ ∠A2 = 180o
⇒ (∠(AHB)) = 180o – (∠B1+ ∠A2) = 180o – 90o = 90o
Vậy AE ⊥ BF
Câu 7: Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.
Lời giải:
Gọi giao điểm các đườngphân giác của các góc: A, B, C, D theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.
* Trong ΔADG, ta có:
∠(GAD) = 45o; (GDA) = 45o (gt)
⇒ ΔGAD vuông cân tại G.
⇒ ∠(AGD) = 90o và GD = GA
Trong ΔBHC, ta có:
∠(HBC) = 45o; ∠(HCB) = 45o (gt)
⇒ ΔHBC vuông cân tại H.
⇒ ∠(BHC) = 90o và HB = HC
* Trong ΔFDC, ta có: ∠D1 = 45o; ∠C1 = 45o (gt)
⇒ ΔFDC vuông cân tại F ⇒ ∠F = 90o và FD = FC
Nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
Xét ΔGAD và ΔHBC,ta có: ∠(GAD) = ∠(HBC) = 45o
AD = BC (tính chất hình chữ nhật)
∠(GDA) = ∠(HCB) = 45o
Suy ra: ΔGAD = ΔHBC
FD = FC (chứng minh trên)
Suy ra: FG = FH
Vậy hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kế bằng nhau nên nó là hình vuông.
Câu 8: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa O và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Kẻ FH AE (H AE), FH cắt BC ở G. Tính số đo góc (FAG) ̂
Lời giải:
* Xét hai tam giác vuông DAF và HAF, ta có:
∠(ADF) = ∠(AHF) = 90o
∠A1= ∠A2
AF cạnh huyền chung
Suy ra: ΔDAF = ΔHAF (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ DA = HA
Mà DA = AB (gt)
Suy ra: HA = AB
* Xét hai tam giác vuông HAG và, BAG, ta có:
∠(AHG) = ∠(ABG) = 90o
HA = AB (chứng minh trên)
AG cạnh huyền chung
Suy ra: ΔHAG = ΔBAG (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒ ∠A3 = ∠A4hay AG là tia phân giác của ∠(EAB)
Vậy (FAG) = ∠A2+ ∠A3 = 1/2 (∠(DAE) + ∠(EAB) ) = 1/2 .90o = 45o
Câu 9: Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh DC lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM . Vẽ hình vuông DKIH (H thuộc cạnh DE). Chứng minh rằng ABMI là hình vuông.
