Câu 1: Tìm số tự nhiên x, biết:
a) 123 – 5(x + 4) = 38
b) (3x − 24) . 73= 2 . 74
Lời giải:
a) 123 – 5(x + 4) = 38 ⇔ 5(x + 4) = 123 – 38
⇔ 5(x + 4) = 85 ⇔ x + 4 = 85 : 5 ⇔ x + 4 = 17
⇔ x = 17 – 4 ⇔ x = 13.
b) (3x − 24) . 73= 2 . 74⇔ 3x − 24 = 2 . 74 : 73
⇔ 3x – 16 = 2 . 7 ⇔ 3x – 16 = 14 ⇔ 3x = 14 + 16
⇔ 3x = 30 ⇔ x = 30 : 3 ⇔ x = 10.
Câu 2: Tìm số tự nhiên x, biết rằng nếu chia nó cho 3 rồi trừ 4, sau đó nhân với 5 thì được 15.
Lời giải:
Theo đề bài ra ta có:
(x : 3 – 4).5 = 15
⇔ x : 3 – 4 = 15 : 5
⇔ x : 3 – 4 = 3 ⇔ x : 3 = 3 + 4
⇔ x : 3 = 7 ⇔ x = 7 . 3 ⇔ x = 21.
Câu 3: Thực hiện phép tính rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố:
a) 62: 4 . 3 + 2 . 52
b) 5 . 42– 18 : 32
Lời giải:
a) 62: 4 . 3 + 2 . 52
= 36 : 4 . 3 + 2 . 25
= 9 . 3 + 50 = 27 + 50
= 77 = 11 x 7
Vì đầu bài yêu cầu phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố nên 77 = 7 × 11
(Bạn nào ra kết quả 53 là sai do nguyên tắc thực hiện phép tính chỉ có phép nhân và chia thi thực hiện từ trái qua phải)
b) 5 . 42– 18 : 32
= 5 . 16 – 18 : 9 = 80 – 2 = 78
78 = 2 . 3 . 13
Câu 4: Tìm số tự nhiên x biết:
a) 70 ⋮ x, 84 ⋮ x và x > 8
b) x ⋮ 12, x ⋮ 25, x ⋮ 30 và 0 < x < 500
Lời giải:
a) 70 ⋮ x, 84 ⋮ x và x > 8
Vì 70 ⋮ x, 84 ⋮ x nên x ∈ ƯC(70; 84)
Ta có 70 = 2 . 5 . 7 84 = 22 . 3 . 7
ƯCLN(70; 84) = 2 . 7 = 14
ƯC (70; 84) = {1; 2; 7; 14}
Vì x > 8 nên x = 14
b) x ⋮ 12 , x ⋮ 25 , x ⋮ 30 và 0 < x < 500
Vì x ⋮ 12 , x ⋮ 25 và x ⋮ 30 nên x ∈ BC(12; 25; 30)
Ta có: 12 = 22 . 3 25 = 52 30 = 2 . 3 . 5
BCNN(12; 25; 30) = 22 . 3 . 55 = 300
BC(12; 25; 30) = {0; 300; 600; …}
Vì 0 < x < 500 nên x = 300.
Câu 5: Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 200, biết rằng số đó chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 1, chia cho 5 thiếu 1 và chia hết cho 7.
Lời giải:
Gọi m là số tự nhiên cần tìm.
Ta có: m chia cho 2 dư 1 nên m có chữ số tận cùng là số lẻ
m chia cho 5 thiếu 1 nên m có chữ số tận cùng bằng 1 hoặc bằng 9
Vậy m có chữ số tận cùng bằng 9.
M chia hết cho 7 nên m là bội số của 7 mà có chữ số tận cùng bằng 9
Ta có: 7 . 7 = 49
7 . 17 = 119
7 . 27 = 189
7 . 37 = 259 (Loại vì a < 200)
Trong các số 49, 119, 189 thì chỉ 49 là chia cho 3 dư 1
Vậy số cần tìm là 49.
Câu 6: Thực hiện phép tính:
a) 80 − (4 . 52 – 3 . 23)
b) 23 . 75 + 25 . 23+ 180
c) 2448 : [119 − (23 − 6)]
Lời giải:
a) 80 − (4 . 52– 3 . 23)
= 80 – (4 . 25 – 3 . 8)
= 80 – (100 – 24 )
= 80 – 76 = 4
b) 23 . 75 + 25 . 23 + 180
= 23 . (75 + 25) + 180
= 23 . 100 + 180
= 2300 + 180 = 2480
c) 2448 : [119 − (23 − 6)]
= 2448 : (119 – 17)
= 2448 : 102 = 24
Câu 7: Tìm số tự nhiên x, biết:
a) (2600 + 6400) – 3x = 1200
b) [(6x − 72) : 2 − 84] . 28 = 5628
Lời giải:
a) (2600 + 6400) – 3x = 1200
⇔ 9000 – 3x = 1200
⇔ 3x = 9000 – 1200
⇔ 3x = 7800
⇔ x = 7800 : 3
⇔ x = 2600
b) [(6x − 72) : 2 − 84] . 28 = 5628
⇔ (6x – 72) : 2 – 84 = 5628 : 28
⇔ (6x – 72) : 2 – 84 = 201
⇔ (6x – 72) : 2 = 201 + 84
⇔ (6x – 72) : 2 = 285
⇔ 6x – 72 = 285.2
⇔ 6x – 72 = 570
⇔ 6x = 570 + 72
⇔ 6x = 642
⇔ x = 642 : 6
⇔ x = 107.
Câu 8: Cho A={8; 45}, B={15; 4}
a) Tìm tập hợp C các số tự nhiên x = a + b sao cho a ∈ A, b ∈ B
b) Tìm tập hợp D các số tự nhiên x = a – b sao cho a ∈ A, b ∈ B
c) Tìm tập hợp E các số tự nhiên x = a . b sao cho a ∈ A, b ∈ B
d) Tìm tập hợp G các số tự nhiên x sao cho a = b . x và a ∈ A, b ∈ B
Lời giải:
a) C = {23; 12; 60; 49}
b) D = {4; 30; 41}
c) E = {120; 32; 675; 180}
d) G = {2; 3}
Câu 9: Cho tổng A = 270 + 3105 +150. Không thực hiện phép tính, xét xem tổng A chia hết cho 2, cho 5, cho 3, cho 9 hay không? Tại sao?
Lời giải:
Ta có 270 ⋮ 2; 3105 không chia hết 2; 150 ⋮ 2. Suy ra A không chia hết 2
270 ⋮ 5; 3105 ⋮ 5; 150 ⋮ 5. Suy ra A ⋮ 5
270 ⋮ 3; 3105 ⋮ 3; 150 ⋮ 3. Suy ra A ⋮ 3
270 ⋮ 9; 3105 ⋮ 9; 150 không chia hết 9. Suy ra A không chia hết 9
Câu 10: Tổng sau là số nguyên tố hay hợp số:
a) 2 . 3 . 5 + 9 . 31
b) 5 . 6 . 7 + 9 . 10 . 11
Lời giải:
a) Ta có: 2 . 3 . 5 + 9 . 31 > 3
2 . 3 . 5 ⋮ 3 và 9 . 31 ⋮ 3
Vậy tổng 2 . 3 . 5 + 9 . 31 là hợp số
b) Ta có: 5 . 6 . 7 + 9 . 10 . 11 > 3
5 . 6 . 7 ⋮ 3 và 9 . 10 . 11 ⋮ 3
Vậy tổng 5 . 6 . 7 + 9 . 10 . 11 là hợp số.
Câu 11: Tổng sau có chia hết cho 3 không?
A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
Lời giải:
Ta có:
A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
= (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) + (27 + 28) + (29 + 210)
= 2 . (1 + 2) + 23 . (1 + 2) + 25 . (1 + 2) + 27 . (1 + 2) + 29 . (1 + 2)
= 2 . 3 + 23 . 3 + 25 . 3 + 27 . 3 + 29 . 3
= 3 . (2 + 23 + 25 + 27 + 29)
Vậy A ⋮ 3
Câu 12: Cho a = 45, b = 204, c = 126.
a) Tìm ƯCLN(a, b, c).
b) Tìm BCNN(a, b).
Lời giải:
Ta có: 45 = 32 . 5
204 = 22 . 3 . 17
126 = 2 . 32 . 7
a) ƯCLN (45; 204; 126) = 3
b) BCNN(45; 204) = 22. 32. 5 . 17 = 3060
Câu 13: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 105m, chiều rộng 60m. Người ta muốn trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Tính khoảng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp (khoảng cách giữa hai cây là một số tự nhiên với đơn vị là mét), khi đó tổng số cây là bao nhiêu?
Lời giải:
Gọi n (m) (n ∈ N) là khoảng cách giữa hai cây liên tiếp.
Vì mỗi góc có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau nên n là ước chung của kích thước chiều dài và chiều rộng.
Ta có: 105 ⋮ n và 60 ⋮ n
Vì n lớn nhất nên n là ƯCLN(60; 105)
Ta có: 60 = 22 . 3 . 5
105 = 3 . 5 . 7
ƯCLN (60; 105) = 3 . 5 = 15
Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai cây là 15m
Chu vi của vườn cây là: (105 + 60) . 2 = 330 (m)
Tổng số cây phải trồng là: 330 : 150 = 22 (cây)
Câu 14: Có 133 quyển vở, 80 bút bi, 170 tập giấy. Người ta chia vở, bút bi, giấy thành các phần thưởng đều nhau, mỗi phần thưởng đều cả ba loại. Nhưng sau khi chia còn thừa 13 quyển vở, 8 bút bi, 2 tập giấy không còn đủ chia vào các phần thưởng. Tính xem có bao nhiêu phần thưởng?
Lời giải:
Gọi m (m ∈ N) là số phần thưởng được chia.
Vì sau khi chia còn dư 13 quyển vở nên ta có: m > 13
Số vở được chia: 133 – 13 = 120 (quyển)
Số bút được chia: 80 – 8 = 72 (cây)
Số tập giấy được chia: 170 – 2 = 168 (tập)
Vì trong mỗi phần thưởng số vở, bút và giấy bằng nhau nên m là ước chung của 120, 72 và 168.
Ta có 120 = 23 . 3 . 5; 72 = 23 . 32; 168 = 23 . 3 . 7
ƯCLN (120; 72; 168) = 23 . 3 = 24
ƯC (120; 72; 168) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
Vì m > 13 nên m = 24
Vậy có 24 phần thưởng.
Câu 15: Tại một bến xe, cứ 10 phút lại có một chuyến taxi rời bến, cứ 12 phút lại có một chuyến xe buýt rời bến. Lúc 6 giờ, một xe taxi và một xe buýt cùng rời bến. Hỏi lúc mấy giờ lại có một taxi và một xe buýt cùng rời bến?
Lời giải:
