Bài 67 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hai hàm số: y = 2x – 3 và y = -x 2
a. Vẽ đồ thị của hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ
b. Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị
c. Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y = 2x – 3 và y = -x 2
Lời giải:
a. *Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 3
Cho x = 0 thì y = -3 ⇒ (0; -3)
Cho y = 0 thì x = 3/2⇒ (3/2; 0)
*Vẽ đồ thị hàm số y = – x2
.jpg)
.PNG)
b. Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là A(1; -1) và B(-3; -9)
c. Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình y = 2x – 3, ta có:
-1 = 2.1 – 3 = -1; -9 = 2.(-3) – 3 = -6 – 3 = -9
Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình y = -x 2, ta có:
-1 = -(1) 2 = -1; -9 = -(3) 2 = -9
Vậy tọa độ điểm A và B là nghiệm của hệ phương trình:
.PNG)
Bài 68 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:
a. 3x 2 + 4(x – 1) = (x – 1) 2 + 3
b. x2 + x + √3= √3x + 6
.PNG)
Lời giải:
a. Ta có: 3x 2 + 4(x – 1) = (x – 1) 2 + 3
⇔ 3x 2 + 4x – 4 = x 2 – 2x + 1 + 3
⇔ 2x 2+ 6x – 8 = 0 ⇔ x 2 + 3x – 4 = 0
Phương trình x 2 + 3x – 4 = 0 có hệ số a = 1, b = 3, c = -4 nên có dạng a + b + c = 0, suy ra x1 = 1, x2 = -4
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 = -4
b. Ta có: x2+ x + √3= √3x + 6
⇔ x2 + x – √3x + √3– 6 = 0
⇔ x2 + (1 – √3)x + √3– 6 = 0
Δ = (1 – √3) 2 – 4.1.( √3– 6) = 1 – 2 √3+ 3 – 4 √3+ 24
= 28 – 6 √3= 27 – 2.3 √3+ 1 = (3 √3)2 – 2.3 √3+ 1= (3 √3– 1) 2 > 0
√Δ = √[3(√3 – 1)2] = 3 √3– 1
.PNG)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = 2 √3– 1, x2 = – √3
.PNG)
Phương trình 5x2 – 7x + 2 = 0 có hệ số a = 5, b = -7, c = 2 nên có dạng a + b + c = 0, suy ra x1 = 1 (loại), x2 = 2/5
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 2/5
.PNG)
Bài 69 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình trùng phương sau:
a. x4 + 2x2 – x + 1 = 15x2 – x – 35
b. 2x4 + x2 – 3 = x4 + 6x2 + 3
c. 3x4 – 6x2 = 0
d. 5x4 – 7x2 – 2 = 3x4 – 10x2 – 3
Lời giải:
a. Ta có: x4 + 2x2 – x + 1 = 15x2 – x – 35
⇔ x4 + 2x2 – x + 1 – 15x2 + x + 35 = 0
⇔ x4 – 13x2 + 36 = 0
Đặt m = x2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: x4 – 13x2 + 36 = 0 ⇔ m2 – 13m + 36 = 0
Δ = (-13)2 – 4.1.36 = 169 – 144 = 25 > 0
√Δ = √25 = 5
.PNG)
Ta có: x2 = 9 ⇒ x = ±3
x2 = 4 ⇒ x = ±2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x1 = 3; x2 = -3; x3 = 2; x4 = -2
b. Ta có: 2x4 + x2 – 3 = x4 + 6x2 + 3
⇔ 2x4 + x2 – 3 – x4 – 6x2 – 3 = 0
⇔ x4 – 5x2 – 6 = 0
Đặt m = x2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: x4 – 5x2 – 6 = 0 ⇔ m2 – 5m – 6 = 0
Δ = (-5)2 – 4.1.(-6) = 25 + 24 = 49 > 0
√Δ = √49 = 7
.PNG)
Ta có: x2 = 6 ⇒ x = ±√6
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = √6 , x2 = -√6
c. Ta có: 3x4 – 6x2 = 0 ⇔ 3x2(x2 – 2) = 0
.PNG)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = 2 ; x3 = -2
d. Ta có: 5x4 – 7x2 – 2 = 3x4 – 10x2 – 3
⇔ 5x4 – 7x2 – 2 – 3x4 + 10x2 + 3 = 0
⇔ 2x4 + 3x2 + 1 = 0
Đặt m = x2. Điều kiện m ≥ 0
Ta có: 2x4 + 3x2 + 1 = 0 ⇔ 2m2 + 3m + 1 = 0
Phương trình 2m2 + 3m + 1 = 0 có hệ số a = 2, b = 3, c = 1 nên có dạng :
a – b + c = 0 suy ra m1 = -1, m2 = -1/2
Cả hai giá trị của m đều nhỏ hơn 0 nên không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 70 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a. (x2 – 2x)2 – 2x2 + 4x – 3 = 0
b. 3√(x2 + x + 1 )– x = x2 + 3
Lời giải:
a. Đặt m = x 2 – 2x
Ta có: (x 2 – 2x) 2 – 2x 2 + 4x – 3 = 0
⇔ (x2– 2x) 2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0
⇔ m2– 2m – 3 = 0
Phương trình m2 – 2m – 3 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = -3 nên có dạng a – b + c = 0
Suy ra: m1 = -1, m2 = 3
Với m = -1 ta có: x2 – 2x = -1 ⇔ x2 – 2x + 1 = 0
Phương trình x2 – 2x + 1 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = 1 nên có dạng a + b + c = 0
Suy ra: x1= x2 = 1
Với m = 3 ta có: x2 – 2x = 3 ⇔ x2– 2x – 3 = 0
Phương trình x2 – 2x – 3 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = -3 nên có dạng a – b + c = 0
Suy ra: x1 = -1, x2= 3
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 1, x2 = -1, x3 = 3
.PNG)
Bài 71 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – 1 = 0
a. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b. Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2, hãy tính theo m: x1 + x2; x1x2; x12 + x22
Lời giải:
a. Ta có: Δ' = [-(m + 2)]2 – 1.(m2 + m – 1)
= m2 + 2m + 1 – m2 – m + 1 = m + 2
Phương trình có nghiệm khi Δ' ≥ 0 ⇒ m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ -2
Vậy với m ≥ -2 thì phương trình đã cho có nghiệm.
b. Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2, theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1 + x2 = -b/a = -[-2(m + 1)]/1 = 2(m + 1)/1 = 2(m + 1)
x1x2 = ca = m2 + m – 11 = m2 + m – 1
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (2m + 2)2 – 2(m2 + m – 1)
= 4m2 + 8m + 4 – 2m2 – 2m + 2 = 2m2 + 6m + 6
Bài 72 trang 63 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng -10
Lời giải:
Vì hai số có tổng bằng 10 và tích bằng -10 nên nó là nghiệm của phương trình: x2 – 10x – 10 = 0
Ta có: Δ' = (-5)2 – 1.(-10) = 25 + 10 = 35 > 0
√Δ' = √35
.PNG){kind=small}
Điều hướng bài viết
