Giải bài tập SGK toán lớp 11. Chương 1. Ôn tập chương I – Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài 1 (trang 34 SGK Hình học 11): Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF.

a. Qua phép tịnh tiến theo vectơ AB

b. Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE.

c. Qua phép quay tâm O góc quay 120o.

Lời giải:

Ảnh của tam giác AOF:

a. Qua phép tịnh tiến TAB là tam giác BCO vì :

AB=OC=FO

b. Qua phép đối xứng trục ĐBE là tam giác COD vì :

• A và C đối xứng nhau qua đường thẳng BE ;

• O bất biến tròn phép đối xứng trục ĐBE .

• F và D đối xứng nhau qua đường thẳng BE.

c. Qua phép quay Q(O;120o) là tam giác EOD vì: Q(O;120o) , biến:

Bài 2 (trang 34 SGK Hình học 11): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y + 1 = 0. Tìm ảnh của A và d.

a. Qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (2; 1);

b. Qua phép đối xứng trục Oy;

c. Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ;

d. Qua phép quay tâm O góc 90o.

Lời giải:

Gọi A’, d’ là ảnh của A và d qua các phép biến hình.

a. Qua phép tịnh tiến Tv

Vậy A’(1 ;3)

d’//d nên phương trình d’ có dạng :

3x + y + C = 0 => C = – 6.

Vậy phương trình d’ là 3x + y – 6 = 0

b. Ta thấy d qua A và B (0 ; -1)

ĐOy biến A thành A’(1 ; 2), biến B thành B(0 ; -1)

Vậy d’ là đường thẳng A’B’ có phương trình :

c. Đo biến A thành A’(1 ; -2) , biến B thành B’(0 ; 1)

Vậy d’ là đường thẳng A’B’ có phương trình :

d. Gọi M(-1 ; 0) và N(0 ; 2) lần lượt là hình chiếu của A(-1 ; 2) trên Ox, Oy.

Q(O;90o) biến N thành N’(-2 ; 0), biến A thành A’, biến M thành B(0 ; -1) .

Vậy Q(O;90o) biến hình chữ nhật ONAM thành hình chữ nhật ON’A’B. Do đó A’(-2 ; -1) đi qua A và B, Q(O;90o) biến A thành A’(-2 ;-1) biến B thành B’(1 ; 0)

Vậy Q(O;90o) biến d thành d’ qua hai điểm A’, B’

Do đó phương trình d’ là :

Bài 3 (trang 34 SGK Hình học 11): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(3 ; -2), bán kính 3.

a. Viết phương trình của đường tròn đó.

b. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I ; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (-2 ; 1).

c. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I ; 3) qua phép đối xứng trục Ox.

d. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I ; 3) qua phép đối xứng qua gốc tọa độ.

Lời giải:

a. Phương trình đường tròn : (x – 3)2 + ( y + 2)2 = 9.

b. Trong phép tịnh tiến theo vectơ = (-2 ; 1) thì điểm I biến thành I’ có tọa độ :

Vậy phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (I ;3) trong phép tịnh tiến theo vectơ v = (-2 ; 1) là (x – 1 )2 + ( y + 1)2 = 9

c. Qua phép đối xứng trục Ox, điểm I(3 ; -2) biến thành điểm I’(3 ; 2). Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (x – 3 )2 + (y – 2 )2 = 9.

d. Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ, điểm I(3 ; -2) biến thành điểm I’(-3 ;2) nên phương trình đường tròn cần tìm là :

(x + 3)2 + ( y – 2 )2 = 9.

Bài 4 (trang 34 SGK Hình học 11): Cho vectơ v, đường thẳng d vuông góc với . Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v/2 . Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ v là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d’.

Hướng dẫn. Dùng định nghĩa phép tịnh tiến và phép đối xứng trục.

Lời giải:

Vậy phép tịnh tiến Tv là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Đd và Đd' , nghĩa là :

Bài 5 (trang 35 SGK Hình học 11): Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó. Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B, tỉ số 2.

Lời giải:

ĐIJ biến A thành B, E thành F ; O thành O nên biến ΔAEO thành

ΔBFO, V(B, 2) biến B thành C, biến F thành C, biến O thành D nên biến

ΔBFO thành ΔBCD. Vậy phép đồng dạng có được biến ΔAEO thành ΔBCD.

Vậy J(3; -9)

=>Phép vị tự V(0; 3) biến đường tròn (I; 2) thành đường tròn tâm J, bán kính R’ = 3R = 3. 2 = 6.

=> Phép đối xứng trục ĐOx biến đường tròn (J; 6) thành đường tròn (J1; 6)

*Phương trình của đường tròn (J1; 6) là: (x – 3 )2 + (y – 9 )2 = 36