Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 9 trang 81: Dùng eke vẽ 3 đường cao của tam giác ABC.
Hãy cho biết ba đường cao của tam giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Lời giải
Ta vẽ đường ba đường cao của tam giác ABC như hình vẽ
Ba đường cao đó là: AH, BI, CK
Dựa vào hình vẽ ta thấy ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm
Trả lời câu hỏi Tập 2 Bài 9 trang 82: Hãy phát biểu và chứng minh các trường hợp còn lại của nhận xét trên (xem như những bài tập).
Lời giải
– Bài tập 1: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân
Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác
AI là đường trung trực ⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC
Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:
AI chung
∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)
⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vuông)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
– Bài tập 2: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân
Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường cao
⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC
Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:
AI chung
IB = IC (do I là trung điểm BC)
⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vuông)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
– Bài tập 3: Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân
Xét ΔABC có AI vừa là đường phân giác vừa là đường cao
AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC
Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:
AI chung
∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)
⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vuông)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
– Bài tập 4: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân
Xét ΔABC có AI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC
AI là đường trung tuyến ⇒ I là trung điểm BC
Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:
AI chung
IB = IC (do I là trung điểm BC)
⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vuông)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
Bài 58 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Lời giải:
– Trường hợp tam giác vuông:
Xét tam giác ABC vuông tại A thì BA ⊥ CA hay A là giao điểm của hai đường vuông góc trong tam giác => A trực tâm của tam giác.
Vậy trong tam giác vuông thì trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.
– Trường hợp tam giác tù:
Giả sử tam giác ABC có góc A tù => BC là cạnh lớn nhất hay BC > BA.
Từ B kẻ đường thẳng BK vuông góc với CA. Ta có: KA, KC lần lượt là hình chiếu của BA, BC.
Vì BC > BA nên KC > KA hay K phải nằm ngoài đoạn thẳng AC. Do đó ta có đường cao BK như hình vẽ.
Tương tự với đường cao CP.
Gọi H là giao điểm của BK và CP => H chính là trực tâm của tam giác. Ta thấy H ở bên ngoài tam giác.
Vậy trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác đó.
Bài 59 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 57.
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
Hình 57
Lời giải:
a) Trong ΔNML có:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao
mà PL ∩ MQ = {S}
Suy ra S là trực tâm của tam giác nên đường thẳng SN chứa đường cao từ N hay SN ⊥ ML.
b) ΔNMQ vuông tại Q có
Bài 60 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN ⊥ IM.
Lời giải:
Nối M với I ta được ΔMIK.
Trong ΔMIK có: MJ ⊥ IK (do l ⊥ d) và IN ⊥ MK
Do đó N là trực tâm của ΔMIK.
Suy ra KN là đường cao thứ ba của ΔMIK hay NK ⊥ IM (đpcm).
Bài 61 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.
Lời giải:
Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, AC, AB tại N, M, E.
Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, AC, AB tại N, M, E.
a) ΔHBC có:
HN ⊥ BC nên HN là đường cao
BE ⊥ HC nên BE là đường cao
CM ⊥ BH nên CM là đường cao
Vậy A là trực tâm của ΔHBC.
b) Tương tự, trực tâm của ΔAHB là C; ΔAHC là B.
Bài 62 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải:
a) Hai đường cao bằng nhau
Vẽ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB
Xét hai tam giác vuông KBC và HCB có:
Cạnh BC chung
BH = CK (gt)
a) Hai đường cao bằng nhau
Vẽ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB
Xét hai tam giác vuông KBC và HCB có:
Cạnh BC chung
BH = CK (gt)
Vậy ΔABC cân tại A (đpcm).
b) Ba đường cao bằng nhau
Từ a) ta có:
Nếu BH = CK thì ΔABC cân tại A => AB = AC (1)
Nếu AI = BH thì ΔABC cân tại C => CA = CB (2)
Từ (1) và (2) ta có: AB = BC = AC
Vậy ΔABC là tam giác đều.
