Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 7 trang 75: Hãy viết giả thiết, kết luận của định lí.
Lời giải
– Giả thiết: ΔABM có d là đường trung trực
MA = MB
– Kết luận: M ∈ d
Bài 44 (trang 76 SGK Toán 7 tập 2): Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Điểm M thuộc đường trung trực của AB
=> MA = MB (định lí 1)
Vì MA = 5cm nên MB = 5cm
Bài 45 (trang 76 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình 43 đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Gợi ý: Sử dụng định lí 2
Hình 43
Lời giải:
Theo cách vẽ thì hai cung tròn tâm M và N có bán kính bằng nhau.
Do đó PM = PN và QM = QN
=> P, Q cách đều hai mút M, N của đoạn thẳng MN.
Áp dụng định lí 2 suy ra P, Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN (đpcm).
Bài 46 (trang 76 SGK Toán 7 tập 2): Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Lời giải:
– Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC (định lí 2).
– Tương tự: điểm D và E cũng nằm trên đường trung trực của BC.
Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng (đpcm).
Bài 47 (trang 76 SGK Toán 7 tập 2): Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh ΔAMN = Δ BMN.
Lời giải:
Xét ΔAMN và ΔBMN có:
– AM = MB (vì M nằm trên đường trung trực của AB)
– AN = BN (vì N nằm trên đường trung trực của AB)
– MN chung
=> ΔAMN = ΔBMN (c.c.c) (đpcm)
Bài 48 (trang 77 SGK Toán 7 tập 2): Hai điểm M và N cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM + IN với LN.
Lời giải:
Gọi P là giao điểm của LN với xy.
– Nếu I không trùng P
Ta có: xy là đường trung trực của ML
=> IM = IL (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Xét ΔINL có IL + IN > LN (bất đẳng thức tam giác)
=> IM + IN > LN
– Nếu I ≡ P
IM + IN = IL + IN = LN
Bài 49 (trang 77 SGK Toán 7 tập 2): Hai nhà máy được xây dựng bên bờ một con sông tại hai địa điểm A và B (h.44). Hãy tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất?
Lời giải:
Ta có độ dài đường ống dẫn nước = CA + CB.
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng a.
=> a là đường trung trực của AA’ nên CA’ = CA.
Do đó, CA + CB = CA’ + CB
– Nếu C ≡ C’ (1) (không nằm trên A’B) thì ta có:
CA + CB ≥ A’B (bất đẳng thức ΔA’C’B)
– Nếu C nằm trên A’B thì CA + CB = A’B (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: độ dài đường ống là ngắn nhất thì C phải là giao điểm của A’B với a.
Bài 50 (trang 77 SGK Toán 7 tập 2): Một con đường quốc lộ cách không xa hai điểm dân cư (h.45). Hãy tìm bên đường đó một địa điểm để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế này cách đều hai điểm dân cư.
Hình 45
Lời giải:
Gọi 2 điểm dân cư là hai điểm A, B. Để xây dựng trạm y tế ở bên đường cách đều hai điểm dân cư thì trạm y tế đó phải là giao điểm giữa con đường và đường trung trực của AB.
Bài 51 (trang 77 SGK Toán 7 tập 2): Cho đường thẳng d và điểm P không nằm trên d. Hình 46 minh họa cho cách dựng đường thẳng đi qua điểm P vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau:
(1) Vẽ đường tròn tâm P với bán kính thích hợp sao cho nó có cắt d tại hai điểm A và B.
(2) Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là C (C ≠ P)
(3) Vẽ đường thẳng PC.
Em hãy chứng minh đường thẳng PC vuông góc với d.
Đố: Tìm thêm một cách dựng nữa (bằng thước và compa)
Hình 46
Lời giải:
a) A, B nằm trên cung tròn có tâm P nên PA = PB.
C là giao điểm của 2 cung bằng nhau có tâm tại A nên CA = CB.
=> P; C cách đều A và B
=> đường thẳng CP là đường trung trực của AB (định lí 2)
Do đó: PC ⊥ d
b) Một cách vẽ khác
– Lấy điểm A bất kì trên d
– Vẽ cung tròn tâm A bán kính AP cắt đường thẳng d tại M
– Vẽ cung tròn tâm M bán kính MP cắt cung tròn tâm A tại C
– Vẽ đường thẳng PC, đường thẳng PC chính là đường vuông góc với d.
