Top 10+ lim 1 n 1 chính xác nhất

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. LÝ THUYẾT:

I.Giới hạn hữu hạn

1. Giới hạn đặc biệt:$mathop {lim }limits_{n to + infty } frac{1}{n} = 0$; $mathop {lim }limits_{n to + infty } frac{1}{{{n^k}}} = 0,,(k in {mathbb{Z}^ + })$ $mathop {lim }limits_{n to + infty } {q^n} = 0,,(left| q right| < 1)$; $mathop {lim }limits_{n to + infty } C = C$

2. Định lí : a) Nếu lim $u_n = a$, $lim {v_n} = b$ thì $lim (u_n + v_n) = a + b$ $lim (u_n – v_n) = a – b$ $lim (u_n.v_n) = a.b$ $lim frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = frac{a}{b}$ (nếu $bne 0$) b) Nếu $u_n ge 0$, $forall n$ và $lim u_n= a$ thì $a ge 0$ và $lim sqrt {{u_n}} = sqrt a $

Xem thêm: Top 20 công thức tính chiều dài quỹ đạo

c) Nếu $left| {{u_n}} right| le {v_n}$, $forall n$ và $lim v_n = 0$ thì $lim u_n = 0$ d) Nếu $lim u_n = a$ thì $lim left| {{u_n}} right| = left| a right|$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + … + {u_1}{q^n} = frac{{{u_1}}}{{1 – q}}$ $left( {left| q right| < 1} right)$

II.Giới hạn vô cực

1. Giới hạn đặc biệt: $lim sqrt n = + infty $ $lim {n^k} = + infty ,,(k in {mathbb{Z}^ + })$ $lim {q^n} = + infty ,,(q > 1)$

2. Định lí: a) Nếu $lim left| {{u_n}} right| = + infty $ thì $lim frac{1}{{{u_n}}} = 0$ b) Nếu $lim u_n = a$, $lim v_n = pm infty$ thì $lim frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0$ c) Nếu $lim u_n = a ne 0$, $lim v_n = 0$ thì $lim frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = pm infty $ Cho trong bảng sau: $begin{array}{|c|c|c|c|} hline lim u_n & lim v_n & Dấu của,, v_n & lim frac{u_n}{v_n}\ hline + &0&+&+infty \ hline + &0&-&-infty \ hline – &0&+&-infty \ hline – &0&-&+infty \ hline end{array}$

Xem thêm: Top 8 vòng lặp while do là vòng lặp chính xác nhất

d) Nếu $lim {u_n} = pm infty $, $lim v_n = a$ thì $lim {u_n}{v_n} = pm infty $ Cho trong bảng sau: $begin{array}{|c|c|c|} hline lim u_n & lim v_n & lim {u_n.v_n}\ hline + &+infty&+infty \ hline + &-infty&-infty \ hline – &+infty&-infty \ hline – &-infty&+infty \ hline end{array}$

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: $frac{0}{0}$, $frac{infty }{infty }$, $infty -infty$, $0.infty$ thì phải tìm cách khử dạng vô định.

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:1.DẠNG 1: $lim frac{{P(n)}}{{Q(n)}}$ (Trong đó $P(n)$, $Q(n)$ là các đa thức có chứa biến $n$) Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$. Chú ý: $lim frac{{P(n)}}{{Q(n)}} = left{ begin{array}{l} k,,,,,,,,,,,text{khi},,text{bậc của},, (P(n)) = text{bậc của},, (Q(n))\ 0,,,,,,,,,,,,text{khi},, text{bậc của},, (P(n)) < text{bậc của},, (Q(n)),\ pm infty ,,,,,,,,text{khi},,text{bậc của},, (P(n)) > text{bậc của},, (Q(n)) end{array} right.$VD1: a) $lim frac{{n + 1}}{{2n + 3}} = lim frac{{1 + frac{1}{n}}}{{2 + frac{3}{n}}} = frac{1}{2}$ b) $lim frac{{n + 1}}{{2{n^2} + 3}} = lim frac{{frac{1}{n} + frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + frac{3}{{{n^2}}}}} = frac{0}{2} = 0$ c) $lim frac{{{n^2} + 1}}{{2n + 3}} = lim frac{{1 + frac{1}{{{n^2}}}}}{{frac{2}{n} + frac{3}{{{n^2}}}}} = + infty $ Do: $left{begin{array}{l} lim(1+frac{1}{n^2})=1\ lim(frac{2}{n}+frac{3}{n^2}=0\ frac{2}{n}+frac{3}{n^2}=0, forall n in {mathbb{N}^*} end{array} right.$

d) $lim frac{{sqrt {{n^2} + n} – 3n}}{{1 – 2n}} = lim frac{{sqrt {1 + frac{1}{n}} – 3}}{{frac{1}{n} – 2}} = 1$ e) $lim frac{{sqrt {{n^2} + n} – n}}{{n + sqrt {4{n^2} + n – 2} }} = lim frac{{sqrt {1 + frac{1}{n}} – 1}}{{1 + sqrt {4 + frac{1}{n} – frac{2}{{{n^2}}}} }} = frac{0}{3} = 0$ f) $lim frac{{sqrt {{n^2} + n} – 3n}}{{1 – 2n + sqrt {4{n^2} + n – 2} }} = lim frac{{sqrt {1 + frac{1}{n}} – 3}}{{frac{1}{n} – 2 + sqrt {4 + frac{1}{n} – frac{2}{{{n^2}}}} }} = – infty $ Do: $left{ begin{array}{l} lim (sqrt {1 + frac{1}{n}} – 3) = – 2 < 0\ lim (frac{1}{n} – 2 + sqrt {4 + frac{1}{n} – frac{2}{{{n^2}}}} ) = 0\ frac{1}{n} – 2 + sqrt {4 + frac{1}{n} – frac{2}{{{n^2}}}} > 0,forall n in {mathbb{N}^*} end{array} right.$ g)$lim ({n^3} – n + 3) = lim frac{{1 – frac{1}{{{n^2}}} + frac{3}{{{n^3}}}}}{{frac{1}{n}}} = + infty $ Do: $left{begin{array}{l} lim(1-frac{1}{n^2}+frac{3}{n^3})=-2<0\ limfrac{1}{n}=0\ frac{1}{n}>0, forall n in {mathbb{N}^*} end{array} right.$

2.DẠNG 2: $lim frac{{P({a^n})}}{{Q({b^n})}}$ (Trong đó Do: $P({a^n}),,,Q({b^n})$ là các đa thức chứa Do: $a^n$ và ${b^n}$)Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho số lớn nhất có chứa mũ $n$.Chú ý: $lim frac{{P({a^n})}}{{Q({b^n})}} = left{ begin{array}{l} k,,,,,,,,,,,text{khi},,a = b\ 0,,,,,,,,,,,,text{khi},a < b,\ pm infty ,,,,,,,,text{khi},,a > b end{array} right.$ VD2: a) $lim frac{{{3^n} + 1}}{{{{2.3}^n} + 3}} = lim frac{{1 + {{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}}{{2 + 3.{{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}} = frac{1}{2}$ b) $lim frac{{{2^n} + 1}}{{{{2.3}^n} + 3}} = lim frac{{{{left( {frac{2}{3}} right)}^n} + {{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}}{{2 + 3.{{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}} = frac{0}{2} = 0$ c) $lim frac{{{3^n} + 1}}{{{{2.2}^n} + 3}} = lim frac{{1 + {{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}}{{2.{{left( {frac{2}{3}} right)}^n} + 3.{{left( {frac{1}{3}} right)}^n}}} = + infty $ Do: $left{ begin{array}{l} lim (1 + {left( {frac{1}{3}} right)^n}) = 1\ lim (2.{left( {frac{2}{3}} right)^n} + 3.{left( {frac{1}{3}} right)^n}) = 0\ 2.{left( {frac{2}{3}} right)^n} + 3.{left( {frac{1}{3}} right)^n} > 0,forall n in {mathbb{N}^*} end{array} right.$3.DẠNG 3: Nhân lượng liên hợp:Phương pháp giải: Dùng các hằng đẳng thức $begin{array}{l} left( {sqrt a – sqrt b } right)left( {sqrt a + sqrt b } right) = a – b; & & \ left( {sqrt[3]{a} – sqrt[3]{b}} right)left( {sqrt[3]{{{a^2}}} + sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}}} right) = a – b\ left( {sqrt[3]{a} + sqrt[3]{b}} right)left( {sqrt[3]{{{a^2}}} – sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}}} right) = a + b end{array}$ VD3:

Xem thêm: Top 12 chất nào sau đây thuộc dãy đồng đẳng ankin

a) $lim left( {sqrt {{n^2} – 3n} – n} right)= lim frac{{left( {sqrt {{n^2} – 3n} – n} right)left( {sqrt {{n^2} – 3n} + n} right)}}{{left( {sqrt {{n^2} – 3n} + n} right)}}= lim frac{{ – 3n}}{{sqrt {{n^2} – 3n} + n}}= – frac{3}{2}$

b) $lim frac{1}{{sqrt {{n^2} – 3n} – n}} = lim frac{{sqrt {{n^2} – 3n} + n}}{{left( {sqrt {{n^2} – 3n} – n} right)left( {sqrt {{n^2} – 3n} + n} right)}} = lim frac{{sqrt {{n^2} – 3n} + n}}{{ – 3n}} = – frac{2}{3}$ c) $lim frac{{sqrt {4{n^2} – 3n} – 2n}}{{sqrt {{n^2} – 3n} – n}} = lim frac{{ – 3nleft( {sqrt {{n^2} – 3n} + n} right)}}{{ – 3nleft( {sqrt {4{n^2} – 3n} + 2n} right)}} = lim frac{{sqrt {{n^2} – 3n} + n}}{{sqrt {4{n^2} – 3n} + 2n}} = frac{1}{2}$ d) $lim left( {sqrt[3]{{{n^3} – 3n}} – n} right) = lim frac{{left( {sqrt[3]{{{n^3} – 3{n^2}}} – n} right)left( {sqrt[3]{{{{left( {{n^3} – 3{n^2}} right)}^2}}} + n.sqrt[3]{{{n^3} – 3{n^2}}} + {n^2}} right)}}{{sqrt[3]{{{{left( {{n^3} – 3{n^2}} right)}^2}}} + n.sqrt[3]{{{n^3} – 3{n^2}}} + {n^2}}}$ $ = lim frac{{ – 3{n^2}}}{{sqrt[3]{{{{left( {{n^3} – 3{n^2}} right)}^2}}} + n.sqrt[3]{{{n^3} – 3{n^2}}} + {n^2}}}$=-1$4.DẠNG 4: Tính giới hạn của tổng hữu hạn:Phương pháp giải: Áp dụng các công thức đã học $begin{array}{l} left( {{u_n}} right),,csc :,,{u_1} + {u_2} + … + {u_n} = frac{{2({u_1} + {u_n})}}{n}\ left( {{u_n}} right),,{mathop{rm cs}nolimits} n:,,{u_1} + {u_2} + … + {u_n} = frac{{{u_1}(1 – {q^n})}}{{1 – q}} end{array}$ VD4: a)Ta có $frac{1}{n(n+1)}=frac{1}{n}-frac{1}{n+1}$ $lim left( {frac{1}{{1.2}} + frac{1}{{2.3}} + ,,,…,, + ,,frac{1}{{n(n + 1)}}} right) = lim (1 – frac{1}{{n + 1}}) = 1$ b) $lim frac{{1 + 3 + {3^2} + … + {3^n}}}{{1 + 4 + {4^2} + … + {4^n}}} = lim frac{{3left( {1 – {3^n}} right)}}{{2left( {1 – {4^n}} right)}} = 0$

5.DẠNG 5: Dùng định lí kẹp:Phương pháp giải: Dùng định lí kẹp: Nếu $left| {{u_n}} right| le {v_n}$,$forall n$ và $lim v_n = 0$ thì $lim u_n = 0$VD5: a) $lim frac{{sin n}}{n}$. Vì $0 le left| {frac{{sin n}}{n}} right| le frac{1}{n}$ và $lim frac{1}{n} = 0$ nên $lim frac{{sin n}}{n} = 0$ b) $lim frac{{3sin n – 4cos n}}{{2{n^2} + 1}}$. Vì $left| {3sin n – 4cos n} right| le sqrt {({3^2} + {4^2})({{sin }^2}n + {{cos }^2}n)} = 5$ nên $0 le left| {frac{{3sin n – 4cos n}}{{2{n^2} + 1}}} right| le frac{5}{{2{n^2} + 1}}$. Mà $lim frac{5}{{2{n^2} + 1}} = 0$ nên $lim frac{{3sin n – 4cos n}}{{2{n^2} + 1}} = 0$ c) $lim frac{{sin n}}{{{4^n}}}$. Vì $0 le left| {frac{{sin n}}{{{4^n}}}} right| le {left( {frac{1}{4}} right)^n}$ và $lim {left( {frac{1}{4}} right)^n} = 0$ nên $lim frac{{sin n}}{{{4^n}}} = 0$ d) $lim frac{n}{{{4^n}}}$. Vì $0 le left| {frac{n}{{{4^n}}}} right| le {left( {frac{1}{2}} right)^n}$ và $lim {left( {frac{1}{2}} right)^n} = 0$ nên $lim frac{n}{{{4^n}}} = 0$ e) $lim frac{{n + sin n}}{{{4^n}}} = lim frac{n}{{{4^n}}} + lim frac{{sin n}}{{{4^n}}} = 0$.C. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

BÀI 1: Tính các giới hạn sau: a) $lim ,,frac{{2{n^2} – n + 3}}{{3{n^2} + 2n + 1}}$ b) $lim ,frac{{2n + 1}}{{{n^3} + 4{n^2} + 3}}$ c) $lim frac{{3{n^3} + 2{n^2} + n}}{{{n^3} + 4}}$ d) $lim frac{{{n^4}}}{{(n + 1)(2 + n)({n^2} + 1)}}$ e) $lim ,frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^4} + n + 1}}$ f) $lim frac{{2{n^4} + {n^2} – 3}}{{3{n^3} – 2{n^2} + 1}}$BÀI 2: Tính các giới hạn sau: a) $lim frac{{1 + {3^n}}}{{4 + {3^n}}}$ b) $lim frac{{{{4.3}^n} + {7^{n + 1}}}}{{{{2.5}^n} + {7^n}}}$ c) $lim frac{{{4^{n + 1}} + {6^{n + 2}}}}{{{5^n} + {8^n}}}$ d) $lim ,frac{{{2^n} + {5^{n + 1}}}}{{1 + {5^n}}}$ e) $lim frac{{1 + {{2.3}^n} – {7^n}}}{{{5^n} + {{2.7}^n}}}$ f) $lim frac{{1 – {{2.3}^n} + {6^n}}}{{{2^n}({3^{n + 1}} – 5)}}$ BÀI 3: Tính các giới hạn sau: a) $lim frac{{sqrt {4{n^2} + 1} + 2n – 1}}{{sqrt {{n^2} + 4n + 1} + n}}$ b) $lim frac{{sqrt {{n^2} + 3} – n – 4}}{{sqrt {{n^2} + 2} + n}}$ c) $lim frac{{{n^2} + sqrt[3]{{1 – {n^6}}}}}{{sqrt {{n^4} + 1} + {n^2}}}$ d) $lim frac{{sqrt {4{n^2} + 1} + 2n}}{{sqrt {{n^2} + 4n + 1} + n}}$ e) $lim frac{{(2nsqrt n + 1)(sqrt n + 3)}}{{(n + 1)(n + 2)}}$ f) $lim frac{{sqrt {{n^2} – 4n} – sqrt {4{n^2} + 1} }}{{sqrt {3{n^2} + 1} + n}}$BÀI 4: Tính các giới hạn sau: a) $lim left( {frac{1}{{1.3}} + frac{1}{{3.5}} + ,,,…,,, + frac{1}{{(2n – 1)(2n + 1)}}} right)$ b) $lim left( {frac{1}{{1.3}} + frac{1}{{2.4}} + ,,,…,,, + frac{1}{{n(n + 2)}}} right)$ c) $lim ,left( {1 – frac{1}{{{2^2}}}} right)left( {1 – frac{1}{{{3^2}}}} right),,,…,,,left( {1 – frac{1}{{{n^2}}}} right)$ d) $lim left( {frac{1}{{1.2}} + frac{1}{{2.3}} + ,,,…,, + ,,frac{1}{{n(n + 1)}}} right)$ e) $lim frac{{1 + 2 + … + n}}{{{n^2} + 3n}}$ f) $lim frac{{1 + 2 + {2^2} + … + {2^n}}}{{1 + 3 + {3^2} + … + {3^n}}}$

BÀI 5: Tính các giới hạn sau: a) $lim ,,left( {sqrt {{n^2} + 2n} – n – 1} right)$ b) $lim ,left( {sqrt {{n^2} + n} – sqrt {{n^2} + 2} } right)$ c) $lim ,,left( {sqrt[3]{{2n – {n^3}}} + n – 1} right)$ d) $lim left( {1 + {n^2} – sqrt {{n^4} + 3n + 1} } right),$ e) $lim left( {sqrt {{n^2} – n} – n} right)$ f) $lim frac{1}{{sqrt {{n^2} + 2} – sqrt {{n^2} + 4} }}$ g) $lim frac{{sqrt {4{n^2} + 1} – 2n – 1}}{{sqrt {{n^2} + 4n + 1} – n}}$ h) $lim frac{{{n^2} + sqrt[3]{{1 – {n^6}}}}}{{sqrt {{n^4} + 1} – {n^2}}}$ i) $lim frac{{sqrt {{n^2} – 4n} – sqrt {4{n^2} + 1} }}{{sqrt {3{n^2} + 1} – n}}$BÀI 6: Tính các giới hạn sau: a) $lim frac{{2cos {n^2}}}{{{n^2} + 1}}$ b) $lim frac{{{{( – 1)}^n}sin (3n + {n^2})}}{{3n – 1}}$ c) $lim frac{{2 – 2ncos n}}{{3n + 1}}$ d) $lim frac{{3{{sin }^6}n + 5{{cos }^2}(n + 1)}}{{{n^2} + 1}}$ e) $lim frac{{3{{sin }^2}({n^3} + 2) + {n^2}}}{{2 – 3{n^2}}}$ f) $lim frac{{3{n^2} – 2n + 2}}{{n(3cos n + 2)}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 03-07-2017 – 17:47

Top 15 lim 1 n 1 tổng hợp bởi Lambaitap.edu.vn

Xem thêm: Top 10 we hope the excursion will help us

Cách tính lim bằng máy tính và bài tập ứng dụng

• Tác giả: tailieure.com
• Ngày đăng: 10/13/2022
• Đánh giá: 3.41 (476 vote)
• Tóm tắt: – Vận dụng định lý 1 Nếu ΙUnΙ ≤ vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0. – Ta chỉ cần ghi 1/ (X^2 +1) calc x ? nhập 10^10 [=] kết quả 1× 10^- …
• Khớp với kết quả tìm kiếm: Cách tính lim bằng máy tính bao gồm các giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay để tính giới hạn về dãy số và giới hạn hàm số với đầy đủ các dạng và phương pháp rõ ràng, dễ hiểu. Với hình thức thi môn toán bằng trắc nghiệm đòi hỏi các em phải có …
• Nguồn: 🔗

Xem chi tiết

Xem thêm: Top 10+ tiếng anh 8 unit 4 looking back đầy đủ nhất

Xem thêm: Top 10+ vật lý 9 bài 36 đầy đủ nhất