Trang chủ » Trả lời câu hỏi bài Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Trả lời câu hỏi bài Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Câu 1: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.

 Bài tập toán 7

Lời giải:

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Khi đó A thuộc đường trung trực của BC (1)

Tam giác DBC cân tại D nên DB = DC

Khi đó D thuộc đường trung trực của BC (2)

Tam giác EBC cân tại E nên EB = EC

Khi đó E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: A, D, E thẳng hàng.

Câu 2: Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng ΔBDE = ΔCDE.

 Bài tập toán 7

Lời giải:

Vì D thuộc đường trung trực của BC nên DB = DC (tính chất đường trung trực)

Vì E thuộc đường trung trực của BC nên EB = EC (tính chất đường trung trực)

Xét ΔBDE và ΔCDE, ta có:

DB = DC (chứng minh trên)

DE cạnh chung

EB = EC (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBDE = ΔCDE (c.c.c).

Câu 3: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ d. Tìm một điểm C nằm trên d sao cho C cách đều A và B.

 Bài tập toán 7

Lời giải:

* Nếu AB không vuông góc với d

– Vì điểm C cách đều hai điểm A và B nên C nằm trên đường trung trực của AB.

– Điểm C ∈ d

Vậy C là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.

Cần dựng đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại C.

Vậy C là điểm cần tìm.

* Nếu AB vuông góc với d

Khi đó đường trung trực của AB song song với đường thẳng d nên không tồn tại điểm C.

Câu 4: Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần I và II như hình dưới. Cho điểm M thuộc phần I và điểm N thuộc phần II. Chứng minh rằng:

a, MA < MB

b, NA > NB

 Bài tập toán 7

Lời giải:

a, Nối MA, MB

Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA

Ta có: MB = MC + CB

Mà CA = CB (tính chất đường trung trực)

Suy ra: MB = MC + CA (1)

Trong MAC, ta có:

MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MA < MB

b, Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB

 Bài tập toán 7

Ta có: NA = ND + DA

Mà DA = DB (tính chất đường trung trực)

Suy ra: NA = ND + DB (3)

Trong NDB, ta có: NB < ND + DB

(bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: NA > NB.

Câu 5: Cho hình bên. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.

 Bài tập toán 7

Lời giải:

Vì AC = AD (gt) nên A thuộc đường trung trực của CD.

Vì BC = BD (gt) nên B thuộc đường trung trực của CD.

Vì A ≠ B nên AB là đường trung trực của CD.

Vậy AB ⊥ CD.

Câu 6: Cho hai điểm A, B và một đường thẳng d. Vẽ đường tròn tâm O đi qua hai điểm A, B sao cho O nằm trên đường thẳng d.

 Bài tập toán 7

Lời giải:

– Vì A và B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB.

– Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn AB.

Vì tâm O nằm trên đường thẳng d nên O là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.

– Dựng đường thẳng m là đường trung trực của AB cắt d tại O.

– Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA (hoặc OB).

* Lưu ý:

– Nếu m // d thì không dựng được tâm O

– Nếu m trùng với d thì có vô số điểm chung O do đó có vô số đường tròn thỏa mãn bài toán.

Câu 7: Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác cân có đáy là AB.

 Bài tập toán 7

Lời giải:

* Chứng minh thuận

Vì CAB cân tại C nên CA = CB

Suy ra C thuộc đường trung trực của AB

Vì điểm C thay đổi mà CAB luôn cân tại C nên C nằm trên đường trung trực của đường thẳng AB.

* Chứng minh đảo

Trên đường thẳng d lấy điểm C bất ký (C khác trung điểm M của AB).

Nối CA, CB.

Ta có: CA = CB (tính chất đường trung trực)

Suy ra tam giác CAB cân tại C.

Tập hợp các điểm C có tính chất CA = CB và ba điểm A, B, C không thẳng hàng là đường trung trực của AB.

Câu 8: Cho góc xOy bằng 60o, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC.

a, Chứng minh rằng OB = OC.

b, Tính số đo góc BOC.

 Bài tập toán 7

Lời giải:

a, Vì Ox là đường trung trực của AB nên:

OB = OA (t/chất đường trung trực) (1)

Vì Oy là đường trung trực của AC nên:

OA = OC (t/chất đường trung trực) (2)

Tư (1) và (2) suy ra: OB = OC.

b, Vì ΔOAB cân tại O và Ox là đường trung trực của AB nên Ox là đường phân giác của ∠(AOB) (tính chất tam giác cân)

Suy ra: ∠O3 = ∠O4 (3)

Vì tam giác OAC cân tại O và Oy là đường trung trực của AC nên Oy là đường phân giác của ∠(AOC) (tính chất tam giác cân)

Suy ra: ∠O1 = ∠O2 (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ∠O1 + ∠O3 = ∠O2 + ∠O4

Ta có: ∠(BOC) = ∠O1 + ∠O3 + ∠O2 + ∠O4

= 2(∠O1 + ∠O3) = 2.(xOy) = 2.60o = 120o.

Câu 9: Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho a là đường trung trực của AC.

a, Hãy so sánh MA + MB với BC.

b, Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất.

 Bài tập toán 7

a, Gọi N là giao điểm của BC với đường thẳng a.

* Nếu M ≠ N

Nối MC.

Vì a là đường trung trực của AC nên M ∈ a

Suy ra: MA = MC (tính chất đường trung trực) (1)

Trong MBC, ta có:

BC < MB + MC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Thay (1) vào (2) ta có: BC < MA + MB

* Nếu M trùng với N

Nối NA. Ta có:

NA = NC (tính chất đường trung trực)

Mà: MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC

Vậy: MA + MB ≥ BC.

b, Theo chứng minh trên, khi M trùng với N thì MA + MB = BC bé nhất. Vậy khi M là giao điểm của BC với đường thẳng a thì MA + MB bé nhất.

Câu 10: Hai nhà máy được xây dựng tại hai địa điểm A và B nằm về một phía của khúc sông thẳng. Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A và đến B là nhỏ nhất.

Lời giải:

– Dựng điểm A' sao cho bờ sông là trung trực của AA'.

– Nối A'B cắt bờ sông tại điểm C.

Theo kết quả của bài  thì C là điểm cần tìm có khoảng cách CA + CB ngắn nhất.

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Scroll to Top