Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, ÔN TẬP CUỐI NĂM – GIẢI TÍCH 12

Bài 1 (trang 145 SGK Giải tích 12): Cho hàm số f(x)=ax²-2(a+1)x+a+2 (a ≠0)

a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.

Lời giải:

Bài 2 (trang 145 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

Bài 3 (trang 146 SGK Giải tích 12): Cho hàm số y = x³ + ax² + bx+1

a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm: A(1;2)và B(-2;-1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.

Lời giải:

Bài 4 (trang 146 SGK Giải tích 12): Xét chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình:

Trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét.

a) Tính v(2), a(2), biết v(t), a(t) lần lượt là vận tốc và gia tốc chuyển động đã cho.

b) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0.

Lời giải:

Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm ta có:

v(t)=s'(t)=t³-3t²+t-3

v(2)=2³-3.2²+2-3=-5 (m/s)

a(t)=v'(t)=s''(t)=3t²-6t+1

a(2)=3.2²-6.2+1=1 (m/s2)

v(t)=t³-3t²+t-3=0

(t-3)(t¹+1)=0 => t = 3

Vậy thời điểm t_o=3s thì vận tốc bằng 0.

Bài 5 (trang 146 SGK Giải tích 12): Cho hàm số y = x⁴ + a⁴ + b

a) Tính a, b để hàm số cực trị bằng 3/2 khi x =1.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho khi:

a=-1/2,b=1

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại các điểm có tung độ bằng 1.

Lời giải:

Bài 6 (trang 146 SGK Giải tích 12):

Cho hàm số 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thi (C ) tại điểm M có hoành độ a ≠-1.

Lời giải:

Bài 7 (trang 146 SGK Giải tích 12): Cho hàm số 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.

b) Tìm giao điểm của (C ) và đồ thị hàm số y=x²+1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại mỗi giao điểm.

c) Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C ) và các đường thẳng y = 0; x = 1 xung quanh trục Ox.

Lời giải:

Bài 8 (trang 147 SGK Giải tích 12): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

Lời giải

Bài 9 (trang 147 SGK Giải tích 12): Giải các phương trình sau:

Lời giải 

Bài 10 (trang 147 SGK Giải tích 12): Giải các bất phương trình sau:

Lời giải

Bài 11 (trang 147 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:

Lời giải

Bài 12 (trang 147 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

Bài 13 (trang 148 SGK Giải tích 12): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Bài 14 (trang 148 SGK Giải tích 12): Tìm thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x² và y = x³ xung quanh trục Ox.

Lời giải:

Ta có: 2x² = x³ ⇔ x² (2 – x) = 0 ⇔ x = 0 và x = 2

Hoành độ giao điểm của hai đường cong là: x = 0 và x =2

Bởi vì 2x²=x³=x² (2-x)≥0 với x≤2 nên đường cong y=2x² nằm trên đường cong y=x³trong khoảng (0; 2). Do đó thể tích cần tính là:

Bài 15 (trang 148 SGK Giải tích 12): Giải các phương trình sau trên tập số phức:

(3+2i)z-(4+7i)=2-5i

(7-3i)z+(2+3i)=(5-4i)z

z²-2z+13=0

z⁴-z²-6=0

Lời giải:

Bài 16 (trang 148 SGK Giải tích 12): Trên mặt phẳng tọa độ, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn từng bất đẳng thức:

a) |z| < 2

b) |z – i| ≤ 1

c) |z – 1 – i| < 1

Lời giải:

a) Tập hợp các điểm M(x; y) của mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện:

|z|<2 ⇔ √(x²+y²)<2 ⇔ x²+y²<4

Các điểm M(x; y) như vậy nằm trong đường tròn có tâm O bán kính bằng 2 không kể các điểm trên đường tròn.

b) Giả sử z=x+yi=>z-i=z+(y-1)i

|z-1|≤1 ⇔ √(x² (y-1)²)≤1 ⇔ x²+(y-1)²≤1

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn |z – 1|≤1 là các điểm của hình tròn tâm (0; 1) bán kính bằng 1 kể cả biên.

c) z=x+yi=>z-1-i=(x-1)+(y-1)i

|z-1-i|<1 ⇔ (x-1)²+(y-1)²<1

Tập hợp các điểm đang xét là các điểm của hình tròn (không kể biên) tâm (1;1), bán kính bằng 1.