Giải bài tập Dựng hình bằng thước và com pa. Dựng hình thang SBT Toán 8 T1

Câu 1: Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 5cm, B = 35^o

Lời giải:

Cách dựng:

– Dựng đoạn BC = 5cm

– Dựng góc ∠CBx = 35^o

– Dựng CA ⊥ Bx ta có ΔABC dựng được.

Chứng minh: ΔABC có ∠A = 90^o, ∠B = 35^o, BC = 5cm. Thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 2: Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 4,5cm và cạnh góc vuông AC = 2cm

Lời giải:

Cách dựng:

– Dựng đoạn AC = 2cm.

– Dựng góc ∠(CAx) bằng 90^o.

– Dựng cung tròn tâm C bán kinh 4,5cm cắt AX tại B. Nối CB ta có ΔABC cẩn dựng .

Chứng minh:

ΔABC có ∠A = 90^o, AC = 2 cm, BC = 4,5 cm.

Thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 3: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết CD = 3cm, AC = 4cm, ∠D = 70^o

Lời giải:

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa điểu kiện bài toán, ta thấy ΔACD xác định được vì biết CD = 3cm, ∠D = 70^o, AC = 4cm

Ta cẩn xác định đỉnh B. Đỉnh B thỏa mãn 2 điểu kiện:

– Nằm trên tia Ay//CD

– B cách D một khoảng bằng 4cm.

Cách dụng:

– Dựng đoạn CD = 3cm

– Dựng góc CDx bằng 70^o

– Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng cung tròn tâm C bản kính 4cm cắt Dx tại A.

– Dựng tia Ay // CD

– Trên nữa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung tròn tâm D bán kính 4cm cắt Ay tại B

– Nối BC ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng, ta có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có CD = 3cm , ∠D = 70^o, AC = 4cm.

Vậy ABCD là hình thang cân.

Biện luận: ΔACD luôn dựng được nên hình than ABCD luôn dựng được.

Bài toán có một nghiệm hình.

Câu 4: Dựng hình thang ABCD (AB //CD) biết AD = 2cm, ∠D = 90^o, DC = 4cm.

Lời giải:

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn bài toán.

Ta thấy ΔADC xác định được vì biết AD = 2cm, ∠D = 90^o, DC = 4cm. Ta cần xác định đình B. Đỉnh B thỏa mãn hai điều kiện:

– B nằm trên tia Ax//CD

– B cách C một khoảng bằng 3cm

Cách dựng:

– Dựng ΔADC biết:

AD = 2cm, D = 90^o, DC = 4cm

– Dựng Ax ⊥ AD

– Dựng cung tròn tâm C bản kính bằng 3cm, cắt Ax tại B.

Nối BC ta có hình thang ABCD dựng được.

Chứng minh:

Thật vậy theo cách dựng, ta có: AB // CD, ∠D = 90^o

Tứ giác ABCD là hình thang vuông

Lại có AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm

Hình thang dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: Δ ADC dựng được, hình thang ABCD luôn dựng được.

Bài toán có hai nghiệm hình.

Câu 5: Dựng ΔABC cân tại A, biết BC = 3cm, đường cao BH = 2,5cm.

Lời giải:

Cách dựng:

– Dựng BH : 2,5cm

– Dựng ∠(xHB) = 90^o

– Dựng cung tròn tâm B bán kính 3cm cắt Hx tại C.

– Dựng BC

– Dựng đường trung trực BC cắt CH tại A

– Dựng AB, ta có ΔABC cẩn dựng

Chứng minh:

Ta có AC = AB (tính chất đường trung trực)

Nên ΔABC cân tại A, BH ⊥ AC

Ta lại có BC = 3cm, BH = 2,5cm

Vậy ΔABC dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 6: Dựng tam giác ABC, biết BC = 4cm , ∠B = 40^o , AC = 3cm

Lời giải:

Cách dựng:

– Dựng đoạn thẳng BC = 4cm .

– Dựng góc ∠(CBx) bằng 40^o

– Dựng trên nửa mặtphẳng bờ BC chứa tia Bx cung tròn tâm C bản kính 3cm cắt BX tại A.

– Kẻ AC, ta có tam giác ABC cần dựng.

Chứng minh:

Thật vậy, theo cách dựng Δ ABC có BC = 4cm, ∠B = 40^o, AC = 3cm.

Thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài toán có hai nghiệm hình.

Câu 7: Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết AD = 2cm, DC = 4cm, AC = 3,5cm.

Lời giải:

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Tam giác ADC dựng được vì biết ba cạnh AD = 2cm, DC = 4cm, AC = 3,5cm. Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:

– B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.

– B cách C một khoảng bằng 2,5cm.

Cách dựng:

– Dựng ΔADC biết AD = 2cm, DC = 4cm, AC = 3,5cm

– Dựng tia Ax // CD. Ax nằm trong nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm G.

– Dựng cung tròn tâm C bán kính 2,5cm. Cung này cắt Ax tại B, nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh:

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD.

Hình thang ABCD có: AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm, BC = 2,5cm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Biện luận: Vì ΔADC luôn dựng được nên hình thang ABCD dựng được 2 hình thang thỏa mãn bài toán.

Câu 8: Dựng hình thang cân ABCD có AB // CD, biết AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm

Lời giải:

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADC dựng được vì biết ba cạnh AD = 2cm, CD = 4cm, AC= 3,5cm. Điểm B thỏa mãn 2 điều kiện:

– B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.

– B cách D một khoảng bằng 3,5cm.

Cách dựng:

– Dựng ΔADC biết:

AD = 2cm, AC = 3,5cm, CD = 4cm.

– Dựng tia AX // CD. Ax nằm trong nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C.

– Dựng cung tròn tâm D bán kính 3,5cm. Cung này cắt AX tại B. Nối CB, ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh:

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB //CD.

AC = BD = 3,5cm

Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.

Hình thang cân ABCD có: AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Biện luận: Tam giác ADC luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được. Cung tròn tâm D bán kính 3,5cm cắt Ax tại 1 điểm nên ta dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Dựng hình thang cân ABCD có AB//CD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, đường cao AH = 2cm.

Lời giải:

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADH dựng được vì biết hai cạnh góc vuông AH = 2cm và HD = lcm, ∠H = 90o và đáy AB < CD nên ∠D < 90^o. Điểm H nằm giữa D và C.

Điểm C nằm trên tia đối tia HD và cách H

Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:

– B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với DH.

– B cách A một khoảng bằng 2cm

Cách dựng:

– Dựng ΔAHD biết ∠H = 90^o, AH = 2cm, HD = lcm

– Dựng tia đối tia HD

– Dựng điểm C sao cho HC = 3cm

– Dựng tia AX // DH, Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm H.

– Dựng điểm B sao cho AB = 2cm . Nối CB ta có hình thang ABCD cẩn dựng.

Chứng minh:

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB//CD.

Kẻ BK ⊥ CD. Tứ giác ABKH là hình thang có 2 cạnh bên song song nên: BK = AH và KH = AB

Suy ra: KC = HC – KH = HC – AB = 3 – 2 = 1 (cm)

Suy ra: ΔAHD = ΔBKC (c.g.c) ⇒ ∠D = ∠C

Câu 10: Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, ∠D = 70^o, ∠B = 50^o

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại E. Hình thang ABCE có 2 cạnh bên song song nên AB = EC = 2cm do đó DE = 2cm

Tam giác ADE dựng được vì biết 2 góc kề với một cạnh.

Điểm C nằm trên tia DE cách D một khoảng bằng 4cm.

Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:

– B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.

– B nằm trên đường thẳng đi qua C và song song với AE.

Cách dựng:

– Dựng ΔADE biết DE = 2cm, ∠D = 70^o, E = 50^o

– Dựng tia DE lấy điểm C sao cho DC = 4cm

– Dựng tia AX // CD, Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C

– Dựng tia Cy // AE, Cy nằm trên nửa mặt phẳng bờ CD chưa điểm A.

Cy cắt Ax tại B. Hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh: