Câu 1: Cho đoạn thẳng AB, kẻ tia Ax bất kỳ, lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE. Qua C, D kẻ đường thẳng song song với BE. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phân bằng nhau.
Lời giải:
Gọi giao điểm của các đường thẳng kẻ từ C và D song song với BE cắt AB tại M và N.
Ta có: AC = CD = DE (gt)
CM // DN // BE
Theo tính chất đường thẳng song song cách đều, ta có:
AM = MN = NB
Câu 2: Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trên tia Oy, điểm B di chuyển trên tia Ox. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Điểm C di chuyển trên đường nào?
Lời giải:
Vì điểm C đối xứng với điểm A qua điểm B nên BA = BC
Kẻ CH ⊥ Ox
Xét hai tam giác vuông AOB và CHB, ta có:
∠(AOB) = ∠(CHB ) = 90o
BA = BC (chứng minh trên)
∠(ABO) = ∠(CBH) (đối đỉnh)
Suy ra ΔAOB = Δ CHB (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ CH = AO
Vì A, O cố định nên OA không đổi suy ra CH không đổi
Vì C thay đổi cách Ox một khoảng bằng OA không đổi nên C chuyển động trên đường thẳng song song với Ox, cách Ox một khoảng bằng OA.
Khi B trung O thì C trung với điểm K đối xứng với A qua điểm O.
Vậy C chuyển động trên tia Kz // Ox, cách Ox một khoảng không đổi bằng OA.
Câu 3: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào?
Lời giải:
Kẻ AH ⊥ BC,IK ⊥ BC ⇒ AH // IK
Trong = ΔAHM, ta có:
AI = IM (gt)
IK // AH (chứng minh trên)
Suy ra IK là đường trung bình của ΔAHM
⇒ IK = 1/2 AH
ΔABC cố định nên AH không thay đổi ⇒ IK = 1/2 AH không đổi.
I thay đổi cách BC một khoảng bằng AH/2 không đổi nên I nằm trên đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng AH/2
Khi M trùng với điểm B thì I trùng với điểm P là trung điểm của AB.
Khi M trùng với điểm C thì I trùng với điểm Q là trung điểm của AC.
Vậy khi M di chuyển trên cạnh BC của ΔABC thì trung điểm I của AM chuyển động trên đường trung bình PQ của ΔABC
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. GỌi D,E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a, So sánh độ dài AM, DE.
b, Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất
Lời giải:
a, Xét tứ giác ADME, ta có:
∠A = 90o (gt)
MD ⊥ AB (gt)
⇒ ∠(MDA) = 90o
ME ⊥ AC (gt)
⇒ ∠(MEA) = 90o
Suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật)
b, Ta có: AH ⊥ BC nên AM ≥ AH
Dấu “=” xảy ra khi M trùng với H
Mà DE = AM (chứng minh trên)
Vậy DE có độ dài nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC
Câu 5: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Điểm M di chuyển trên đường thẳng d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua M. Điểm B di chuyển trên đường nào?
Lời giải:
Kẻ AK ⊥ d,BH ⊥ d
Vì M thay đổi trên d, B đối xứng với A qua M nên AM = MB
Xét tam giác vuông AKM và BHM. Ta có: ∠(AKM) = ∠(BHM) = 90o
AM = MB (chứng minh trên)
∠(AMK) = ∠(BMH) (đối đỉnh)
Do đó ΔAKM = ΔAHM (cạnh huyền,góc nhọn) ⇒ AK = BH
Điểm A cố định, đường thẳng d cố định nên AK không đổi.
M thay đổi, B thay đổi cách đường thẳng d cố định một khoảng bằng AK không thay đổi nên B chuyển động trên đường thẳng xy song song với d và cách d một khoảng bằng AK.
Câu 6: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào?
Lời giải:
Gọi C là giao điểm của AD và BE.
Tam giác ABC có:
∠A = 60o (vì ΔADM đều)
∠B = 60o (vì ΔBEM đều)
Suy ra: ΔABC đều hay AB = AC = BC
Suy ra điểm C cố định.
Lại có: ∠A = ∠(EMB) = 60o
ME // AC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
hay MD // EC
suy ra tứ giác CDME là hình bình hành.
I là trung điểm của DE nên I là trung điểm của CM
Kẻ CH ⊥ AB,IK ⊥ AB⇒IK // CH
Trong ΔCHM,ta có: CI = IM và IK // CH
Suy ra IK là đường trung bình của ΔCHM⇒IK = 1/2 CH
Vì C cố định nên CH không đổi ⇒ IK = 1/2 CH không đổi nên I chuyển động trên đường thẳng song óng với AB, cách AB một khoảng bằng 1/2 CH
Khi M trùng với A thì I trùng với trung điểm P của AC.
Khi M trùng với B thì I trùng với trung điểm Q của BC.
Vậy khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì I chuyển động trên đoạn PQ (P là trung điểm AC, Q là trung điểm BC).
Câu 7: Hình chữ nhật ABCD có cạnh AD bằng nửa đường chéo AC. Tính góc nhọn tạo bới hai đường chéo.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Ta có: AC = BD ( tính chất hình chữ nhật) ⇒ OA = OD = 1/2 AC
Lại có: AD = 1/2 AC (gt)
Suy ra: OA = OD = AD
⇒ ΔOAD đều ⇒∠(AOD ) = 60o
Câu 8: Dựng hình chữ nhật ABCD biết đường chéo AC = 4cm, góc tạo bởi hai đường chéo bằng 1000.
Lời giải:
* Cách dựng:
– Dựng ΔOAB biết OA = OB = 2cm, ∠(AOB ) = 100o
– Trên tia đối tia OA dựng điểm C sao cho OC = OA = 2cm
– Trên tia đối tia OB dựng điểm D sao cho OD = OB = 2cm
Nối AD, BC, CD ta có hình chữ nhật ABCD cần dựng
* Chứng minh:
Ta có: OA = OC, OB = OD
Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.
Vì AC = BD = 4 (cm) nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
