1. Khái niêm về đường kính
Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lý 1:
Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
Định lý 2: Trong một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
3. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
Khi một đường thẳng a và đường tròn (O;R) có 2 điểm chung ta nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) cắt nhau. Đường thẳng a gọi là cát tuyến của đường tròn (O;R).
Khi đó: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên a thì OH là khoảng cách từ O đến a và OH
b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O;R) có 1 điểm chung tại C ta nói đường thẳng a và đường tròn (O;R) tiếp xúc nhau.
Ta còn nói đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm C gọi là tiếp điểm và OC chính là khoảng cách từ O đến a. Khi đó OH=R
Định lý:
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung nào thì ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau
4. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn tới đường thẳng và bán kính của đường tròn
Cho đường thẳng a và (O;R). Đặt OH=d là khoảng cách từ O đến đường thẳng a. Khi đó:
- d
- d=R ⇔ đường thẳng a có 1 điểm chung với (O;R) (hay đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R))
- d>R ⇔ đường thẳng a không có điểm chung với đường tròn (O;R)
5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Định lý:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn
6. Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau
Định lý:
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
l Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
l Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
– Góc tạo bởi hai tiếp tuyến AB và AC là góc BAC
– Góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm là BOC
7. Đường tròn nội tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.
- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của các đường phân giác trong của tam giác đó
8. Tính chất đường nối tâm
Định lý:
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
9. Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính
Xét hai đường tròn (O;R) và (O';r) trong đó R ≥ r
a) Hai đường tròn cắt nhau
Nếu hai đường tròn (O;R) và (O';r) cắt nhau thì: R – r < OO’ < R +r
b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau
Nếu (O) và (O') tiếp xúc ngoài thì: OO’= R + r
Nếu (O) và (O') tiếp xúc trong thì: OO’= R – r
c) Hai đường tròn không giao nhau Nếu hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau thì
10. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó
- Tiếp tuyến chung ngoài không cắt đoạn nối tâm
- Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm
- Nếu đường tròn (O) đựng đường tròn (O') thì OO’ = R – r
- Nếu hai đường tròn (O) và (O') đồng tâm thì OO’ = 0
Bài tập minh họa
Bài tập trọng tâm
Bài 1: Cho đường tròn (O;R) và 2 dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA=4, IB=8. Khoảng cách từ tâm O tới AB là d và tới CD là d'
Hướng dẫn:
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên CD, AB. Vì tứ giác OFIE có 3 góc vuông nên OFIE là hình chữ nhật
Ta lại có OE=OF do AB=CD nên OFIE là hình vuông khi đó: OE = OF = EI = FA = – IA = IA + IB/2 – IA =2
