Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 2 trang 57: Cho điểm A không thuộc đường thẳng d (h.8).
Hãy dùng êke để vẽ và tìm hình chiếu của điểm A trên d. Vẽ một đường xiên từ A đến d, tìm hình chiếu của đường xiên này trên d.
Lời giải
Sau khi vẽ theo yêu cầu đề bài, ta có:
– Kẻ AH ⊥ d, H ∈ d ⇒ H là hình chiếu của A trên d
– Trên d lấy điểm B ≠ H . Nối AB ⇒ AB là đường xiên từ A đến d
Hình chiếu của đường xiên AB trên d là HB
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 2 trang 57: Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được bao nhiêu đường vuông góc và bao nhiêu đường xiên đến đường thẳng d?
Lời giải
– Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được 1 đường vuông góc với d
– Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được vô số đường xiên đến d
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 2 trang 58: Hãy dùng định lí Py-ta-go để so sánh đường vuông góc AH với đường xiên AB kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Lời giải
Xét tam giác AHB vuông tại H
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
AB2 = AH2 + BH2
⇒ AB2 > AH2
⇒ AB > AH
Hay AH < AB
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 2 trang 58: Cho hình 10. Hãy sử dụng định lí Py-ta-go để suy ra rằng:
a) Nếu HB > HC thì AB > AC;
b) Nếu AB > AC thì HB > HC;
c) Nếu HB = HC thì AB = AC, và ngược lại, nếu AB = AC thì HB = HC.
Lời giải
Xét tam giác AHB vuông tại H
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
AB2 = AH2 + HB2 (1)
Xét tam giác AHC vuông tại H
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
AC2 = AH2 + HC2 (2)
a) Nếu HB > HC ⇒ HB2 > HC2.
⇒ AH2 + HB2 > AH2 + HC2
Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2)
⇒ AB2 > AC2
⇒ AB > AC
b) AB > AC ⇒ AB2 > AC2
Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2)
⇒ AH2 + HB2 > AH2 + HC2
⇒ HB2 > HC2
⇒ HB > HC
c) – Nếu HB = HC ⇒ HB2 = HC2.
⇒ AH2 + HB2 = AH2 + HC2
Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2)
⇒ AB2 = AC2
⇒ AB = AC
– Nếu AB = AC ⇒ AB2 = AC2
Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2)
⇒ AH2 + HB2 = AH2 + HC2
⇒ HB2 = HC2
⇒ HB = HC
Bài 8 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 11, biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Tại sao?
a) HB = HC;
b) HB > HC;
c) HB < HC.
Lời giải:
Vì AB < AC (gt) và AH ⊥ BC mà AB, AC là hai đường xiên có hình chiếu tương ứng là HB và HC nên HB < HC
Vậy đáp án c) đúng.
Bài 9 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2): Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, …(hình 12).
Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?
Lời giải:
Theo hình vẽ, các điểm A, B, C, D nằm trên một đường thẳng và điểm M nằm ngoài đường thẳng đó. MA là đường vuống góc kẻ từ M đến đường thẳng. Các đoạn thẳng MB, MC, MD là các đường xiên kẻ từ M lần lượt đến B, C và D.
Ta có AB, AC và AD lần lượt là hình chiếu của MB, MC và MD xuống đường thẳng. Ta có ngay AD > AC > AB. Suy ra:
MD > MC > MB > MA
Điều đó có nghĩa là ngày hôm sau bạn Nam bơi được xa hơn ngày hôm trước, tức là bạn Nam tập đúng mục đích đề ra.
Bài 10 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kỳ của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.
Lời giải:
Xét tam giác ABC cân tại A. Gọi D là điểm bất kì của cạnh đáy BC. Kẻ đường cao AH. Ta có:
– Nếu D ≡ B hoặc C thì AD = AB = AC
– Nếu D ≡ H thì AD < AB (hoặc AC)
– Nếu D không trùng B, C, và H, giả sử D nằm giữa D và H thì trong tam giác ABH có BH và DH lần lượt là hình chiếu của AB và AD.
Vì HD < HB nên AD < AB
Vậy (từ 3 ý trên), trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh với một điểm bất kì của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài cạnh bên.
Bài 11 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2): Một cách chứng minh khác của định lí 2:
Cho hình 13. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng:
Nếu BC < BD thì AC < AD
Hướng dẫn:
a) Góc ACD là góc gì? Tại sao?
b) Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?
Lời giải:
Bài 12 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 14. Ta gọi độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.
Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó.
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước như trong hình 15 có đúng không?
Lời giải:
Như trong bài, độ dài đoạn thẳng AB (đoạn vuông góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b) là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.
Vì tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song nên để đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh của tấm gỗ vì đó chính là chiều rộng của tấm gỗ.
Đặt thước như hình 15 là không đúng vì thước không vuông góc với hai cạnh của tấm gỗ.
Bài 13 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 16. Hãy chứng minh rằng:
a) BE < BC;
b) DE < BC.
Lời giải:
a) Cách 1: Ta có AE, AC lần lượt là hình chiếu của hai đường xiên BE, BC lên đường thẳng AC.
Vì AE < AC => BE < BC (1)
Cách 2: Góc BEC là góc ngoài của tam giác vuông ABE nên góc BEC là góc tù (vì góc AEB chắc chắn là góc nhọn).
Do đó, trong tam giác BEC có BE < BC (vì BE là cạnh đối diện với góc tù – góc lớn hơn.)
b) Ta cũng có AD, AB lần lượt là hình chiếu của ED, EB lên đường thẳng AB.
Vì AD < AB => ED < EB (2)
Từ (1) và (2) ta có: DE < BC (đpcm).
Bài 14 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2): Đố: Vẽ tam giác PQR có PQ = PR = 5cm, QR = 6 cm.
Lấy điểm M trên đường thẳng QR sao cho PM = 4,5cm. Có mấy điểm M như vậy?
Điểm M có nằm trên cạnh QR hay không? Tại sao?
Lời giải:
ΔPQR có PQ = PR = 5cm nên ΔPQR cân. Từ P kẻ đường thẳng PH ⊥ QR.
Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng QR, ta có:
MH, QH, RH lần lượt là hình chiếu của PM, PQ, PR lên QR
Vì PM = 4,5cm < PQ (hoặc PR) nên hình chiếu MH < QH, RH
