Giải bài tập SBT toán lớp 9 (Tập 2). Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 27 trang 55 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Xác định a, b’,c trong mỗi phương trình rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

a. 5x2 – 6x -1 = 0     b. -3x2 + 14x – 8 = 0

c. -7x2 + 4x = 3     d. 9x2 + 6x + 1 = 0

Lời giải:

a. Phương trình 5x2 – 6x -1 = 0 có hệ số a = 5, b’ = -3, c = -1

Ta có: Δ’ = b’2 – ac = (-3)2 -5.(-1) = 9 + 5 = 14 > 0

√Δ' =√14

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

b. Phương trình -3x2+ 14x – 8 = 0 có hệ số a = -3, b’= 7, c = -8

Ta có: Δ' = b’2 – ac = 72 – (-3).(-8) = 49 – 24 > 0

√Δ' = √25 = 5

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

c. Phương trình -7x2 +4x=3 ⇔ 7x2 -4x+3 = 0 có hệ số a=7, b’=-2 , c=3

Ta có: Δ’ = b’2 – ac = (-2)2 -7.3 = 4- 21= -17 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm

d. Phương trình 9x2 +6x+1 =0 có hệ số a=9,b’=3,c=1

Ta có: Δ’ = b’2 – ac = 32 -9.1 = 9 – 9 = 0

Phương trình có nghiệm kép:

x1 = x2 = -b'/a =-3/9 =-1/3

Bài 28 trang 55 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau?

a. x2 +2 + 2√2 = 2(1+√2 )x

b. √3 x2 + 2x -1 = 2√3 x +3

c. -2√2 x – 1 =√2 x2 + 2x +3

d. x2 – 2√3 x – √3 = 2x2 +2x +√3

e. √3 x2 + 2√5 x – 3√3 = -x2 – 2√3 x +2√5 +1

Lời giải:

a,Ta có: x2 +2 + 2√2 = 2(1+2 )x ⇔ x2 – 2(1+√2 )x +2 +2√2 = 0

Δ' = b’2 – ac = [-(1+√2 )]2– 1(2+2√2 )

= 1 + 2√2 +2 -2 -2√2 =1 > 0

√Δ' = √1 =1

Vậy với x= 2+ √2 hoặc x =√2 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

b. Ta có: √3 x2 + 2x -1 = 2√3 x +3 ⇔ 3 x2 + 2x – 2√3 x -3 -1 = 0

⇔ √3 x2 + (2 – 2√3 )x -4 =0 ⇔ √3 x2 + 2(1 – √3 )x -4 = 0

Δ' = b’2 – ac= (1- √3 )2 – √3 (-4) =1 – 2√3 +3 +4√3

= 1 + 2√3 +3 = (1 + 3 )2 > 0

Vậy với x= 2 hoặc x = (-2√3)/3 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

c,Ta có: -2√2 x – 1 =√2 x2 + 2x +3 ⇔ √2 x2 +2x + 3 + 2√2 x + 1=0

⇔√ 2 x2 + 2(1 + √2 )x +4 =0

Δ' = b’2 – ac= (1+ √2 )√ – √2 .4= 1+2√2 +2 – 4√2

= 1-2√2 +2 = (√2 -1)√ > 0

Vậy với x= -√2 hoặc x = -2 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

d.Ta có: x2 – 2√3 x – √3 = 2x2 +2x +√3

⇔ x2 – 2√3 x – √3 – 2x2 -2x – √3 =0

⇔ x2 +2x +2√3 x +2√3 =0

⇔ x2 + 2(1 +√3 )x + 2√3 =0

Δ' = b’2 – ac= (1+ √3 )√ – 1. 2√3 = 1 + 2√3 +√3 -2√3 =4>0

√Δ' = √4 =2

Vậy với x=1 – √3 hoặc x = – 3 – √3 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

e.Ta có: √3 x2 + 2√5 x – 3√3 = -x2 – 2√3 x +2√5 +1

⇔ √3 x2 + 2√5 x – 3√3 + x2 + 2√3 x – 2√5 – 1= 0

⇔ (√3 +1)x2 + (2√5 + 2√3 )x -3√3 – 2√5 – 1= 0

⇔ (√3 +1)x2 + 2(√5 + √3 )x -3√3 – 2√5 – 1= 0

Δ' = b’√ – ac= (√3 + √5 )√ – (√3 +√1)( -3√3 – 2√5 – 1)

= 5 + 2√15 +3+9 +2√15 + √3 +3√3 +2√5 + 1

=18 +4√15 +4√3 +2√5

= 1 + 12 + 5 + 2.2√3 + 25 + 2.2√3 .√5

= 1 + (2√3 )√ + (√5 )√ + 2.1.2√3 +2.1.√5 + 2.2√3 .√5

= (1 +2√3 +√5 )√ > 0

Bài 29 trang 55 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình dưới). Khi nhảy độ cao h từ người đó đến mặt nước (tính bằng mét ) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức : h= – (x -1)2 +4 . Hỏi cách x bằng bao nhiêu:

a. Khi vận động viên ở độ cao 3m?

b. Khi vận động viên chạm mặt nước?

Lời giải:

Khi vận động viên ở độ cao 3m nghĩa là h =3m

Ta có: 3 =- (x – 1)2 + 4 ⇔ (x – 1)2 – 1=0 ⇔ x2 – 2x = 0

⇔ x(x – 2) = 0 ⇔ x=0 hoặc x – 2 =0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Vì khoảng cách không thể mang giá trị âm nên x=3m

Bài 30 trang 56 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ):

a.16x2 – 8x +1=0     b.6x2 – 10x -1 =0

c. 5x2 +24x +9 =0     d.16x2 – 10x +1 =0

Lời giải:

a) 16x2 – 8x +1=0

Ta có: Δ' = (-4)2 – 16.1 = 16 -16 =0

Phương trình có nghiệm kép :

c) 5x2 +24x +9 =0

Ta có: Δ' =122 -5.9 =144 +45 =99 > 0

√Δ' = √99 =3√11

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Bài 31 trang 56 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của x thì giá trị của hai hàm số bằng nhau?

Lời giải:

Bài 32 trang 56 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của m thì :

a. Phương trình 2x2 – m2x +18m = 0 có một nghiệm x = -3

b. Phương trình mx2 – x – 5m2 = 0 có một nghiệm x = -2

Lời giải:

a) Thay x=-3 vào phương trình 2x2 – m2x +18m =0 ta được:

2(-3)2 – m2(-3) + 18m =0 ⇔ 3m2 +18m+18 =0

⇔ m2 + 6m +6 = 0

Δ' = 32 -1.6 = 9 -6 =3 > 0

√Δ' = √3

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy với m = 3 – 3 hoặc m =- 3- 3 thì phương trình đã cho có nghiệm x= -3

b) Thay x = -2 vào phương trình mx2 – x – 5m2 = 0 ta được:

m(-2)2 – (-2) – 5m2=0 ⇔ 5m2 – 4m -2 =0

Δ' = (-2)2 -5.(-2) = 4+10 = 14 > 0

√Δ' = √14

hương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Bài 33 trang 56 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

a. x2 – 2(m+3)x + m2 + 3 = 0

b.(m+1)x2 + 4mx + 4m – 1 = 0

Lời giải:

a. x2 – 2(m+3)x + m2+3=0     (1)

Ta có: Δ' = [-(m+3)]2 -1.(m2 +3) = m2 + 6m + 9 – m2 – 3

= 6m +6

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

Δ' > 0 ⇔ 6m + 6 > 0 ⇔ 6m > -6 ⇔ m > -1

Vậy m > -1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

b. (m+1)x2+4mx+4m -1 =0     (2)

Ta có: Δ' = (2m)2 – (m +1)(4m -1) = 4m2 – 4m2 + m – 4m +1

= 1 – 3m

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

*m +1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1

và *Δ' > 0 ⇔ 1 -3m > 0 ⇔ 3m < 1 ⇔ m < 1/3

Vậy m < 1/3 và m ≠ -1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Bài 34 trang 56 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có nghiệm kép

a. 5x2 + 2mx – 2m +15 =0

b. mx2 – 4(m -1)x -8 =0

Lời giải:

a. 5x2 + 2mx – 2m +15 =0     (1)

Ta có: Δ'=m2 – 5.(-2m +15) = m2 +10m -75

Phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

Δ'= 0 ⇔ m2 + 10m – 75 = 0

Δ'm = 52 -1.(-75) = 25 +75 = 100 > 0

√(Δ'm) = √100 =10

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy m =5 hoặc m=-15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép

b. mx2 – 4(m -1)x -8 =0     (2)

Phương trình (2) có nghiệm kép khi và chỉ khi: m≠ 0 và Δ'=0