Bài 1 (trang 140 SGK Đại số 11): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x3+2x-1 tại x0=3.
Lời giải:
.PNG)
Bài 2 (trang 141 SGK Đại số 11):
.PNG)
b.Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x0=2.
Lời giải:
.PNG)
Bài 3 (trang 141 SGK Đại số 11):
a. Vẽ đồ thị hàm số y= f(x). Từ đó nêu nhận xét vê tính liên tục của hàm sso trên tập xác định của nó.
b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh.
Lời giải:
a. Đồ thị hàm số ( hình bên). Từ đồ thị ta thấy số gián đoạn tại x = -1.
.PNG)
.PNG)
Bài 4 (trang 141 SGK Đại số 11):
Lời giải:
.PNG)
Bài 5 (trang 141 SGK Đại số 11): Ý kiến sau đúng hay sai?
"Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 và hàm số y = g(x) không liên tục tại x0, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x0".
Lời giải:
Ý kiến trên đúng, vì y = h(x) = f(x) + g(x) liên tục tại x0 thì h(x) – f(x) = g(x) liên tục tại x0 (theo định lý 2 về hàm số liên tục) trái với giả thiết g(x) không liên tục tại x0.
Bài 6 (trang 141 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng phương trình:
a. 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b. cos x = x có nghiệm
Lời giải:
a. Đặt f(x) = 2x3 – 6x + 1
TXĐ: D = R
Ta có: f(-2) = 2.(-2)3– 6(-2) + 1 = – 3 < 0
f(-1) = – 2 + 6 + 1 = 5 > 0
f(-2).f(-1) < 0
Mà f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên tập R. Do đó f(x) liên tục trên (-2; -1).
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈(-2; -1).
Tương tự ta có:
f(-1) = 2(-1)3 – 6(-1) + 1 = 5
f(1) = 2 – 6 + 1 = -3
f(-1).f(1) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (-1;1).
Vì các đoạn (-2; -1) và (-1; 1) rời nhau nên các nghiệm nói trên không thể trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm.
b.Xét hàm số g(x) = x – cos x liên tục trên R, do đó liên tục trên đoạn [- π; π] ta có:
g(-π) = – π – cos (- π) = – π + 1 < 0
g(π) = π – cos π = π – (-1) = π + 1 > 0
g(- π). g( π) <0
Theo định lí 3, phương trình x – cos x = 0 có nghiệm trong (- π; π) tức là cos x = x có nghiệm.
