Câu 1: Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA.
a, Hãy so sánh các góc AMB và ANC.
b, Hãy so sánh các độ dài AM và AN.
Lời giải:
a, Trong ΔABC, ta có AB < AC
Suy ra: ∠(ABC) > ∠(ACB) (đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (1)
Ta có: AB = BM (gt) ⇒ ΔABM cân tại B
Suy ra: ∠(AMB) = ∠A1(tính chất tam giác cân)
Trong ΔABM, ta có ∠(ABC) là góc ngoài tại đỉnh B
Suy ra: ∠(ABC) = ∠(AMB) + ∠A1
Suy ra: ∠(AMB) = 1/2 ∠(ABC) (2)
Lại có: AC = CN (gt) ⇒ ΔACN cân tại C
Suy ra: ∠(ANC) = ∠A2(tính chất tam giác cân)
Trong ΔACN, ta có ∠(ACB) là góc ngoài tại đỉnh C
Suy ra: ∠(ACB) = ∠(ANC) + ∠A2
Suy ra: ∠(ANC) = 1/2 ∠(ACB) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: (AMB) > ∠(ANC) .
b, Trong ΔAMN, ta có: (AMB) > (ANC)
Suy ra: AN > AM (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).
Câu 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH. Chứng minh rằng: HB < HC, ∠(HAB) < ∠ (HAC)(xét hai trường hợp: B nhọn và B tù).
Lời giải:
Ta có: AB < AC (gt)
Suy ra: HB < HC (đường xiên lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn)
* Trường hợp B nhọn (hình 83a)
Trong Δ ABC, ta có: AB < AC
Suy ra: ∠B > ∠C (đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)
Trong Δ AHB, ta có ∠(AHB) = 90o
Suy ra: ∠B + ∠(HAB) = 90o (tính chất tam giác vuông) (1)
Trong Δ AHC, ta có ∠(AHC) = 90o
Suy ra: ∠C + ∠(HAC) = 90o (tính chất tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠B + ∠(HAB) = ∠C + ∠(HAC)
Mà ∠B > ∠C nên ∠(HAB) < ∠(HAC)
* Trường hợp B tù (hình 83b)
Vì điểm B nằm giữa H và C nên ∠(HAC) = ∠(HAB) + ∠(BAC)
Vậy ∠(HAB) < ∠(HAC).
Câu 3: Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm.
Lời giải:
Ta có: 1 = 3 – 2 = 4 – 3 = 5 – 4
Suy ra: trong 3 cạnh của tam giác không có cạnh nào có độ dài 1cm.
* Nếu cạnh nhỏ nhất là 2cm
Ta có: 4 – 3 < 2 < 4 + 3; 5 – 4 < 2 < 5 + 4
Suy ra: hai cạnh kia là 3cm và 4cm hoặc 4cm và 5cm
* Nếu cạnh nhỏ nhất là 3cm
Ta có: 5 – 4 < 3 < 5 + 4; 3 = 5 – 2; 3 > 4 – 2
Như vậy hai cạnh kia là 5cm và 4cm
* Không có trường hợp cạnh nhỏ nhất là 4cm
Vậy có thể vẽ được ba tam giác với độ dài các cạnh là:
2cm; 3cm; 4cm
2cm; 4cm; 5cm
3cm; 4cm; 5cm
Câu 4: Cho bốn điểm A, B, C, D như hình bên. Hãy tìm một điểm M sao cho tổng MA + MB + MC + MD là nhỏ nhất.
Lời giải:
* Nếu M không trùng với giao điểm của AC và BD
Trong ΔAMC, ta có: MA + MC > AC (bất đẳng thức tam giác)
Trong ΔMBD, ta có: MB + MD > BD (bất đẳng thức tam giác)
* Nếu M trùng với giao điểm AC và BD
Ta có: MA + MC = AC
MB + MD = BD
Suy ra: MA + MC ≥ AC
MB + MD ≥ BD (dấu bằng xảy ra khi M trùng với giao điểm của AC và BD)
Suy ra: MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD
Vậy MA + MB + MC + MD = AC + BD bé nhất khi đó M là giao điểm của AC và BD.
Câu 5: Cho hình sau trong đó G la trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
- SAGC= 2SGMC
- SGMB= SGMC
- SAGB= SAGC= SBGC
Lời giải:
a, Vì G là trung điểm của ΔABC nên GA = 2GM (tính chất đường trung tuyến)
Ta có ΔAGC và ΔGMC có chung đường cao kẻ từ đỉnh C đến AM, đồng thời cạnh đáy GA = 2GM.
Suy ra: SAGC = 2SGMC (1)
b, Ta có ΔGMB và ΔGMC có cạnh đáy MB = MC, chung đường cao kẻ từ đỉnh G đến cạnh BC
Suy ra: SGMB = SGMC (2)
c, Ta có ΔAGB và ΔGMB có chung đường cao kẻ từ đỉnh B đến cạnh AM, đồng thời AG = 2GM (chứng minh trên)
Suy ra: SAGB = 2SGMB (3)
Mà SBGC = SGMB + SGMC = 2SGMB (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: SAGB = SAGC = SBGC
Câu 6: Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A thuộc cạnh Ox, điểm B thuộc cạnh Oy.
a, Hãy tìm điểm M nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh Ox và Oy nên M thuộc tia phân giác Oz của ∠(xOy)
b, Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a?
Lời giải:
a, Vì điểm M nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh Ox và Oy nên M thuộc tia phân giác Oz của ∠(xOy).
Vì điểm M cách đều 2 điểm A và B nên M thuộc đường trung trực của AB.
Vậy M là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB và tia phân giác ∠(xOy)
b, Nếu OA = OB thì ΔOAB cân tại O
Khi đó tia phân giác của ∠(xOy) cũng là đường trung trực của AB
Vậy bất kì điểm M nào nằm trên tia phân giác của ∠(xOy) đều thỏa mãn điều kiện trong câu a).
Câu 7: Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng một chiếc thước thẳng có chia khoảng, hãy nêu cách vẽ tia phân giác của góc xOy.
Lời giải:
– Dùng thước chia khoảng, trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB.
– Nối AB.
– Dùng thước chia khoảng để đo đoạn AB, lấy trung điểm M của AB.
– Kẻ tia OM.
Vì tam giác OAB cân tại O và OM là đường trung tuyến nên OM cũng là đường phân giác của ∠(AOB).
Vậy OM là tia phân giác của ∠(xOy).
Câu 8: Cho hình dưới trong đó giao điểm O của hai đường thẳng a và b nằm ngoài phạm vi tờ giấy. Chỉ vẽ hình trong phạm vi tờ giấu, hãy vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho đường thẳng d cũng đi qua O nếu kéo dài đường thẳng d ra ngoài phạm vi tờ giấy.
Lời giải:
– Kẻ AH ⊥ a kéo dài HA cắt b tại B
– Kẻ AH ⊥ b kéo dài KA cắt a tại C
– Kẻ AI ⊥ BC, đường thẳng AI đi qua O
Vì tam giác OBC có hai đường cao BH và CK cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác OBC.
Khi đó OA là đường cao thứ ba nên OA ⊥ BC.
Vì AI ⊥ BC nên đường thẳng OA và đường thẳng AI trùng nhau hay đường thẳng AI đi qua O.
Câu 9: Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần (không kể đường thẳng d): phần chứa điểm A ký hiệu là PA, phần chứa điểm B ký hiệu là PB (hình bên).
a, Gọi M là một điểm của PA. Chứng minh rằng MA < MB
b, Gọi N là một điểm của PB. Chứng minh rằng NB < NA
c, Gọi K là một điểm sao cho KA < KB. Hỏi rằng K nằm ở đâu: trong PA, PB hay trên d?
Lời giải:
a, Nối MA, MB. Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA.
Ta có: MB = MC + CB
mà CA = CB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: MB = MC + CA (1)
Trong ΔMAC ta có:
MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MA < MB
b, Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB.
Ta có: NA = ND + DA
mà DA = DB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: NA = ND + DB (3)
Trong ΔNDB, ta có:
NB < ND + DB (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: NA > NB
c, Theo câu a), ta có: MA < MB
Mà M là một điểm của PA nên K là một điểm của PA.
