Trả lời câu hỏi bài Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Câu 1: Cho hình sau. So sánh các độ dài AB, AC, AD, AE.

Lời giải:

Vì điểm C nằm giữa B và D nên BC < BD (1)

Vì điểm D nằm giữa B và E nên BD < BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC < BD < BE

Vì B, C, D, E thẳng hành và AB ⊥ BE nên:

AB < AC < AD < AE

(đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn)

Câu 2: Cho hình bên. Chứng minh rằng MN < BC.

Lời giải:

Nối BN.

Vì M nằm giữa A và B nên AM < AB

Ta có: NA ⊥ AB

Suy ra: NM < NB (đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn) (1)

Vì N nằm giữa A và C nên AN < AC

Lại có: BA ⊥ AC

Suy ra: BN < BC (đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MN < BC

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Vẽ cung tròn tâm A có bán kính 9cm. Cung đó có cắt đường thẳng BC hay không, có cắt cạnh BC hay không? Vì sao?

Lời giải:

Kẻ AH ⊥ AB.

Xét hai tam giác vuông AHB và AHC, ta có:

∠AHB = ∠AHC = 90^o

AB = AC (gt)

AH cạnh chung

Suy ra: ΔAHB = ΔAHC

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra: HB = HC (hai cạnh tương ứng)

Ta có: HB = HC = BC² = 6 (cm)

Trong tam giác vuông AHB có ∠AHB = 90^o

Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:

AB² = AH² + HB² ⇒ AH² = AB² – HB² = 10² – 6² = 64

⇒ AH = 8 (cm)

Do bán kính cung tròn 9(cm) > 8(cm) nên cung tròn tâm A bán kính 9 cm cắt đường thẳng BC.

Gọi D là giao điểm của cung tròn tâm A bán kính 9 cm với BC.

Vì đường xiên AD < AC nên hình chiếu HD < HC.

Do đó D nằm giữa H và C.

Vậy cung tròn tâm A bán kính 9 cm cắt cạnh BC.

Câu 4: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF.

Lời giải:

Trong ADE, ta có ∠(AED) = 90^o

Suy ra: AE < AD (1)

Trong CFD, ta có ∠(CFD) = 90^o

Suy ra: CF < CD(2)

Cộng từng vế (1) và (2), ta có:

AE + DF < AD + CD

Vì D nằm giữa A và C nên AD + CD = AC

Vậy AE + CF < AC.

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Chứng minh rằng AB < (BE + BF) / 2.

Lời giải:

Trong ABM, ta có ∠(BAM) = 90^o

Suy ra: AB < BM

Mà BM = BE + EM = BF – MF

Suy ra: AB < BE + EM

AB < BF – FM

Suy ra:AB + AB < BE + ME + BF – MF (1)

Xét hai tam giác vuông AEM và CFM, ta có:

∠(AEM) = ∠(CFM) = 90^o

AM = CM (gt)

∠(AME) = ∠(CMF) (đối đỉnh)

Suy ra: AEM = CFM (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: ME = MF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB + AB < BE + BF

Suy ra: 2AB < BE + BF

Vậy AB < (BE + BF) / 2.

Câu 6: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng độ dài AD nhỏ hơn cạnh bên của tam giác ABC.

Lời giải:

Kẻ AH ⊥ BC.

* Trường hợp H trùng với D

Ta có AH < AC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Suy ra: AD < AC

* Trường hợp H không trùng với D

Giả sử D nằm giữa H và C.

Ta có: HD < HC

Suy ra: AD < AC (hình chiếu nhỏ hơn thì có đường xiên nhỏ hơn)

Vậy AD nhỏ hơn cạnh bên của tam giác cân ABC.

Câu 7: Cho hình sau trong đó AB > AC. Chứng minh rằng EB > EC.

Lời giải:

Ta có: AB > AC (gt)

Suy ra: HB > HC (đường xiên lớn hơn có hình chiếu lớn hơn)

Suy ra: EB > EC (hình chiếu lớn hơn thì có đường xiên lớn hơn)

Câu 8: Cho hình sau, chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC

Lời giải:

Trong ΔABD, ta có ∠(ADB) = 90^o

Suy ra: BD < AB (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên) (1)

Trong ΔAEC, ta có ∠(AEC) = 90^o

Suy ra: CE < AC (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông) (2)

Cộng từng vế (1) và (2), ta có: BD + CE < AB + AC.