Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1. (trang 9 SGK Giải tích lớp 12)

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = 4 + 3x – x²;          b) y = 1/3x³ + 3x²  – 7x – 2;

c) y = x⁴ – 2x² + 3;         d) y = -x³ + x²  – 5.

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 1:

1. a) Tập xác định: D = R;

y' = 3 – 2x => y' = 0 ⇔ x = 3/2

Ta có Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 3/2); nghịch biến trên khoảng (3/2; +∞).

b) Tập xác định: D = R;

y' = x² + 6x – 7 => y' = 0 ⇔ x = 1, x = -7.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -7), (1; +∞); nghịch biến trên các khoảng (-7; 1).

c) Tập xác định: D = R.

y' = 4x³ – 4x = 4x(x² – 1) => y' = 0 ⇔ x = -1, x = 0, x = 1.

Bảng biến thiên: (Học sinh tự vẽ)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0), (; +∞); nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1), (0; 1).

d) Tập xác định: D = R.

y' = -3x² + 2x => y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2/3.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2/3); nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0), (2/3; +∞).

Bài 2. (trang 10 SGK Giải tích lớp 12)

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 2:

a) Tập xác định: D = R{ 1 }.

Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-∞; 1), (1; +∞).

b) Tập xác định: D = R{1}.

Bài 3. (trang 10 SGK Giải tích lớp 12)

Chứng minh rằng hàm số y =  đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1) và (1; +∞).

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 3:

Tập xác định: D = R. y' =  ⇒ y' = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên:

Bài 4. (trang 10 SGK Giải tích lớp 12)

Chứng minh rằng hàm số y =  đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên các khoảng (1; 2).

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 4:

Tập xác định: D = [0; 2]; y' = , ∀x ∈ (0; 2); y' = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Bài 5. (trang 10 SGK Giải tích lớp 12)

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx > x (0 < x < π/2);

b) tanx > x + x³/3 (0 < x <π/2).

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 5:

a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x với x ∈ [0; π/2).

Ta có: y' =  – 1 ≥ 0, x ∈ [0;π/2); y' = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0; π/2).

Từ đó ∀x ∈ (0; π/2) thì f(x) > f(0) ⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0 hay tanx > x.

b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x – x³/3. với x ∈ [0; π/2).

Ta có: y' =  – 1 – x² = 1 + tan²x – 1 – x2 = tan²x – x²

= (tanx – x)(tanx + x),  ∀x ∈ [0;π/2 ).

Vì ∀x ∈ [0; π/2) nên tanx + x ≥ 0 và tanx – x > 0 (theo câu a). Do đó y' ≥ 0, ∀x ∈ [0; π/2). Dễ thấy y' = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0; π/2). Từ đó: ∀x ∈ [0; π/2) thì g(x) > g(0) ⇔ tanx – x – x³/3 > tan0 – 0 – 0 = 0 hay  tanx > x + x³/3.