Trang chủ » Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1. (trang 9 SGK Giải tích lớp 12)

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = 4 + 3x – x2;          b) y = 1/3x3 + 3x2  – 7x – 2;

c) y = x4 – 2x2 + 3;         d) y = -x3 + x2  – 5.

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 1:

1. a) Tập xác định: D = R;

y' = 3 – 2x => y' = 0 ⇔ x = 3/2

Ta có Bảng biến thiên:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 3/2); nghịch biến trên khoảng (3/2; +∞).

b) Tập xác định: D = R;

y' = x2 + 6x – 7 => y' = 0 ⇔ x = 1, x = -7.

Bảng biến thiên:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -7), (1; +∞); nghịch biến trên các khoảng (-7; 1).

c) Tập xác định: D = R.

y' = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1) => y' = 0 ⇔ x = -1, x = 0, x = 1.

Bảng biến thiên: (Học sinh tự vẽ)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0), (; +∞); nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1), (0; 1).

d) Tập xác định: D = R.

y' = -3x2 + 2x => y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2/3.

Bảng biến thiên:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2/3); nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0), (2/3; +∞).

Bài 2. (trang 10 SGK Giải tích lớp 12)

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 2:

a) Tập xác định: D = R{ 1 }.

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-∞; 1), (1; +∞).

b) Tập xác định: D = R{1}.

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 3. (trang 10 SGK Giải tích lớp 12)

Chứng minh rằng hàm số y = Giải bài tập trang 9, 10 SGK Giải tích lớp 12: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1) và (1; +∞).

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 3:

Tập xác định: D = R. y' = Giải bài tập trang 9, 10 SGK Giải tích lớp 12: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số ⇒ y' = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 4. (trang 10 SGK Giải tích lớp 12)

Chứng minh rằng hàm số y = Giải bài tập trang 9, 10 SGK Giải tích lớp 12: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên các khoảng (1; 2).

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 4:

Tập xác định: D = [0; 2]; y' = Giải bài tập trang 9, 10 SGK Giải tích lớp 12: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, ∀x ∈ (0; 2); y' = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Bài 5. (trang 10 SGK Giải tích lớp 12)

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx > x (0 < x < π/2);

b) tanx > x + x3/3 (0 < x <π/2).

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 5:

a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x với x ∈ [0; π/2).

Ta có: y' = Giải bài tập trang 9, 10 SGK Giải tích lớp 12: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – 1 ≥ 0, x ∈ [0;π/2); y' = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0; π/2).

Từ đó ∀x ∈ (0; π/2) thì f(x) > f(0) ⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0 hay tanx > x.

b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x – x3/3. với x ∈ [0; π/2).

Ta có: y' = Giải bài tập trang 9, 10 SGK Giải tích lớp 12: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – 1 – x2 = 1 + tan2x – 1 – x2 = tan2x – x2

= (tanx – x)(tanx + x),  ∀x ∈ [0;π/2 ).

Vì ∀x ∈ [0; π/2) nên tanx + x ≥ 0 và tanx – x > 0 (theo câu a). Do đó y' ≥ 0, ∀x ∈ [0; π/2). Dễ thấy y' = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0; π/2). Từ đó: ∀x ∈ [0; π/2) thì g(x) > g(0) ⇔ tanx – x – x3/3 > tan0 – 0 – 0 = 0 hay  tanx > x + x3/3.

Bài viết liên quan

Quay lại