Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 2. Cực trị của hàm số

Bài 1. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :

a) y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10 ;          b) y = x 4+ 2x2 – 3 ;

c) y = x + 1/x ;                              d) y = x3(1 – x)2 ;

e) 

Đáp án: 

a) y’ = 6x2 + 6x -36 =6 (x2 + x – 6);

y’= 0 ⇔ x2 + x – 6= 0 ⇔ x=2; x=-3
Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực đại tại x=-3, giá trị cực đại ycđ = y(-3) = 71.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 , giá trị cực tiểu yct=y(2) =- 54.

Câu b:

Xét hàm số y=x4+2x2–3$\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">y</span>}<span\; style="font-size:16px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">4</span>}}<span\; style="font-size:16px;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">2</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">2</span>}}<span\; style="font-size:16px;">–</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">3</span>}$

Tập xác định: D=R$\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">D</span>}<span\; style="font-size:16px;">=</span>\mathbb{<span\; style="font-size:16px;">R</span>}$.

Đạo hàm: y′=4x3+4x=4x(x2+1)${\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">y</span>}}^{<span\; style="font-size:16px;">\prime </span>}<span\; style="font-size:16px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">4</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">3</span>}}<span\; style="font-size:16px;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">4</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}<span\; style="font-size:16px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">4</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}<span\; style="font-size:16px;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">2</span>}}<span\; style="font-size:16px;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">1</span>}<span\; style="font-size:16px;">)</span>$

y′=0⇔x=0${\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">y</span>}}^{<span\; style="font-size:16px;">\prime </span>}<span\; style="font-size:16px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">0</span>}<span\; style="font-size:16px;">\iff </span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}<span\; style="font-size:16px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">0</span>}$

Với x=0 ta có y=-3.

Bảng biến thiên của hàm số:

Câu c:

Xét hàm số y=x+1x$\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">y</span>}<span\; style="font-size:16px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}<span\; style="font-size:16px;">+</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}$

Tập xác định: D=R∖{0}

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại ycđ = y(-1) = -2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu yct = y(1) = 2.

Câu d:

Xét hàm số y=x3(1–x)2$\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">y</span>}<span\; style="font-size:16px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">3</span>}}<span\; style="font-size:16px;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">1</span>}<span\; style="font-size:16px;">–</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">x</span>}{<span\; style="font-size:16px;">)</span>}^{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">2</span>}}$

Tập xác định: D=R$\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">D</span>}<span\; style="font-size:16px;">=</span>\mathbb{<span\; style="font-size:16px;">R</span>}$.

y’ = 3x2(1 – x)2 + x3 . 2(1 – x)(-1) = x2 (1 – x)[3(1 – x) – 2x] = x2 (x – 1)(5x – 3) .   y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 3/5, x = 1.

Bảng biến thiên : 

Hàm số đạt cực đại tại x = 3/5, ycđ =y(3/5) = 108/3125 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 , yct = y(1) = 0 .

e) Tập xác định : D = R.

Bảng biến thiên : 

Hàm số đạt cực tiểu tại  x=1/2; y = √3/2

Bài 2. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x4 – 2x2 + 1 ;            b) y = sin2x – x ;

c)y = sinx + cosx ;              d) y = x5 – x3 – 2x + 1.

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

    y' = 4x3 – 4x

y'= 0 => x = 0; x = ±1.

    y" = 12x2 – 4

y"(0) = -4 < 0 => x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

y"(±1) = 8 > 0 > x = -1 và x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) TXĐ: D = R

    y' = 2cos2x – 1;

c) TXĐ: D = R