Trang chủ » Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 1:

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đáp án:

Câu a:

Xét hàm số y=x33x29x+35

Tập xác định D=R.

Hàm số liên tục trên các đoạn [-4;4] và [0;5] nên có GTLN và GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)

Trên đoạn [-4;4]:

y=0[x=3[4;4]x=1[4;4]

Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số là maxyx[4;4]=y(1)=40.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là minyx[4;4]=y(4)=41.

Trên đoạn [0;5]:

ta thấy y' = 0 tại x = 3 ∈ [0; 5]

Ta có: y(0) = 35; y(5)= 40; y(3)= 8

Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 5] là:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất của hàm số trên [0; 5] là:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

(Các phần b, c, d) dưới đây trình bày theo một cách khác, ngắn gọn hơn, nhưng vẫn bám sát theo cấu trúc trên.

b) TXĐ: D = R

y' = 4x3 - 6x

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

c) TXĐ: D = (-∞; 1) ∪ (1; +∞)

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

=> Hàm số đồng biến trên D.

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

d) TXĐ: D = (-∞; 5/4]

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

=> Hàm số nghịch biến trên D.

Khi đó trên đoạn [-1; 1]:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2 (trang 24 SGK Giải tích 12): Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 16:2 = 8cm

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (cm) thì cạnh kia có độ dài là (8 - x) (cm) (với x ∈ [0; 8]).

Diện tích của hình chữ nhật là:

y = S(x) = x(8 - x) = -x2 + 8x

Xét hàm số trên ta có: D = [0; 8]

    y'= -2x + 8 = -2(x - 4)

y' = 0 => x = 4

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hàm số đạt giá trị cực đại tại x = 4 (=> cạnh còn lại là 8 - 4 = 4) hay trong số các hình chữ nhật có chu vi 16cm thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

(Lưu ý: Thay vì xét max, min như trên, bạn cũng có thể sử dụng Bất đẳng thức Cô-si với hai số x và x - 8 để suy ra kết quả tương tự.)

Bài 3 (trang 24 SGK Giải tích 12): Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (m) thì độ dài cạnh còn lại là 48/x (m) (điều kiện: x > 0).

 

Khi đó chu vi hình chữ nhật là:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Xét hàm số trên (0; +∞):

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bảng biến thiên:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4√3 hay trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 m2 thì hình vuông cạnh 4√3 m là hình có chu vi nhỏ nhất.

Bài 4 (trang 24 SGK Giải tích 12): Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài viết liên quan

Quay lại