Bài 1:
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
.png)
Đáp án:
Câu a:
Xét hàm số
Tập xác định .
Hàm số liên tục trên các đoạn [-4;4] và [0;5] nên có GTLN và GTNN trên mỗi đoạn này.
Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)
Trên đoạn [-4;4]:
Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.
Vậy:
Giá trị lớn nhất của hàm số là .
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
Trên đoạn [0;5]:
ta thấy y' = 0 tại x = 3 ∈ [0; 5]
Ta có: y(0) = 35; y(5)= 40; y(3)= 8
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 5] là:
.PNG)
Giá trị lớn nhất của hàm số trên [0; 5] là:
.PNG)
(Các phần b, c, d) dưới đây trình bày theo một cách khác, ngắn gọn hơn, nhưng vẫn bám sát theo cấu trúc trên.
b) TXĐ: D = R
y' = 4x3 – 6x
.PNG)
c) TXĐ: D = (-∞; 1) ∪ (1; +∞)
.PNG)
=> Hàm số đồng biến trên D.
.PNG)
d) TXĐ: D = (-∞; 5/4]
.PNG)
=> Hàm số nghịch biến trên D.
Khi đó trên đoạn [-1; 1]:
.PNG)
Bài 2 (trang 24 SGK Giải tích 12): Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Lời giải:
Nửa chu vi hình chữ nhật là: 16:2 = 8cm
Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (cm) thì cạnh kia có độ dài là (8 – x) (cm) (với x ∈ [0; 8]).
Diện tích của hình chữ nhật là:
y = S(x) = x(8 – x) = -x2 + 8x
Xét hàm số trên ta có: D = [0; 8]
y'= -2x + 8 = -2(x – 4)
y' = 0 => x = 4
.PNG)
Hàm số đạt giá trị cực đại tại x = 4 (=> cạnh còn lại là 8 – 4 = 4) hay trong số các hình chữ nhật có chu vi 16cm thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
(Lưu ý: Thay vì xét max, min như trên, bạn cũng có thể sử dụng Bất đẳng thức Cô-si với hai số x và x – 8 để suy ra kết quả tương tự.)
Bài 3 (trang 24 SGK Giải tích 12): Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (m) thì độ dài cạnh còn lại là 48/x (m) (điều kiện: x > 0).
Khi đó chu vi hình chữ nhật là:
.PNG)
Xét hàm số trên (0; +∞):
.PNG)
Bảng biến thiên:
.PNG)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4√3 hay trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 m2 thì hình vuông cạnh 4√3 m là hình có chu vi nhỏ nhất.
Bài 4 (trang 24 SGK Giải tích 12): Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
.PNG)
