Bài 1 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a) y = 2 + 3x – x3 ; b) y = x3 + 4x2 + 4x
c) y = x3 + x2 + 9x ; d) y = -2x3 + 5
Lời giải:
a)
– Tập xác định: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = 3 – 3x2
y’ = 0 => x = ±1
+ Giới hạn:
.PNG)
+ Bảng biến thiên:
.PNG)
Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 1 ).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: ( 1; 0).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (1; 4).
– Đồ thị:
Ta có x3 + 4x2 + 4x = 0 ⇒ x(x2 + 4x + 4) = 0
⇒ x(x + 2)2 = 0 => x = 0; x = -2
+ Giao với Ox: (0; 0) và (-2; 0)
+ Giao với Oy: (0; 0) (vì y(0) = 0)
.PNG)
(Đồ thị hàm số nhận điểm (0; 2) làm tâm đối xứng.)
b)
– Tập xác định: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 8x + 4
y’ = 0 => x = -2 hoặc x = -2/3
+ Giới hạn:
.PNG)
+ Bảng biến thiên:
.PNG)
.PNG)
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (-2; 0).
– Đồ thị:
Ta có 2 + 3x – x3 = 0 ⇒ x = -1 ; x = 2
+ Giao với Ox: (-1; 0) và (2; 0)
+ Giao với Oy: (0; 2) (vì y(0) = 2)
c)
– Tập xác định: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 2x + 9 > 0 ∀ x ∈ R
=> Hàm số luôn đồng biến trên R và không có điểm cực trị.
+ Giới hạn:
.PNG)
+ Bảng biến thiên:
.PNG)
– Đồ thị:
Ta có: y” = 6x + 2
y” = 0 ⇔ 6x + 2 = 0 ⇔ x = -1/3
⇒ Tọa độ điểm uốn: I(-1/3; -79/27)
.PNG)
d)
– Tập xác định: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = -6x2 ≤ 0 ∀ x ∈ R
=> Hàm số luôn nghịch biến trên R và không có điểm cực trị.
+ Giới hạn:
.PNG)
+ Bảng biến thiên:
.PNG)
– Đồ thị:
Ta có: y” = -12x
y” = 0 ⇒ -12x = 0 ⇒ x = 0
Tọa độ điểm uốn là: I(0; 5)
Bài 2 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) y = -x4 + 8x2 – 1 ; b) y = x4 – 2x2 + 2
Lời giải:
a)
– Tập xác định: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = -4x3 + 16x = -4x(x2 – 4)
y’ = 0 ⇔ -4x(x2 – 4) = 0 => x = 0 ; x = ±2
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
.PNG)
àm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞).
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là: (0; -1).
Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là: (-2; 15) và (2; 15).
– Đồ thị:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:
y(-x) = -(-x)4 + 8(-x)2 – 1 = -x4 + 8x2 – 1 = y(x)
Do đó đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
Ta có: -x4 + 8x2 – 1 = 0 => x = ±√(4 + √15) ; x = ±√(4 – √15)
+ Giao với Ox: tại 4 điểm
+ Giao với Oy: (0; -1) (vì y(0) = -1)
.PNG)
b)
– Tập xác định: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)
y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 => x = 0 ; x = ±1
+ Giới hạn:
.PNG)
.PNG)
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2).
– Đồ thị:
Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:
.PNG)
c)
– Tập xác định: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1)
y’ = 0 ⇔ 2x(x2 + 1) = 0 => x = 0
+ Giới hạn:
.PNG)
.PNG)
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2).
– Đồ thị:
Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:
.PNG)
d)
– Tập xác định: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = -4x – 4x3 = -4x(1 + x2)
y’ = 0 ⇔ -4x(1 + x2) = 0 => x = 0
+ Giới hạn:
.PNG)
.PNG)
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).
– Đồ thị:
Xác định tương tự như a) ta có đồ thị:
.PNG)
Bài 3 (trang 43 SGK Giải tích 12): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức:
.PNG)
Lời giải:
a)
– Tập xác định: D = R {1}
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
.PNG)
=> Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:
.PNG)
Vậy x = 1 là tiệm cận đứng.
.PNG)
Vậy y = 1 là tiệm cận ngang.
+ Bảng biến thiên:
.PNG)
– Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; -3)
+ Giao với Ox: (-3; 0)
.PNG)
b)
– Tập xác định: D = R {2}
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
.PNG)
=> Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:
.PNG)
Vậy x = 2 là tiệm cạn đứng.
.PNG)
Vậy y = -1 là tiệm cận ngang.
+ Bảng biến thiên:
.PNG)
– Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; -1/4)
+ Giao với Ox: (1/2; 0)
Xác định một số điểm khác:
.PNG)
c)
– Tập xác định: D = R {-1/2}
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
.PNG)
=> Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2) và (-1/2; +∞).
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:
.PNG)
Vậy x = -1/2 là tiệm cận đứng.
