Trang chủ » Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I – Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I – Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

Bài 1 trang 45:

Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

Đáp án:

– Điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, hàm số f(x):

+ Đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K: x1 < x2 => f(x1) < f(x2).

+ Nghịch biến (giảm) trên K ∀ x1, x2 ∈ K: x1 < x2 => f(x1) > f(x2)

– Xét hàm số y = -x3 + 2x2 – x – 7, ta có:

D = R

y' = -3x2 + 4x – 1

y' = 0 => x = 1 ; x = 1/3

y' > 0 với x ∈ (1/3; 1) và y' < 0 với x ∈ (-∞; 1/3) ∪ (1; +∞)

Vậy hàm số đồng biến trên (1/3; 1) và nghịch biến trên (-∞; 1/3) ∪ (1; +∞).

– Xét hàm số

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

Ta có: D = R {1}

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

=> Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng (-∞; 1) và (1; +-∞)

Bài 2 (trang 45 SGK Giải tích 12): Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số:

y = x4 – 2x2 + 2

 

ời giải:

– Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm:

Quy tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

uy tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, 3, …) là các nghiệm của nó.

3. Tính f"(x) và f"(xi)

4. Nếu f"(xi) > 0 thì xi là điểm cực tiểu.

Nếu f"(xi) < 0 thì xi là điểm cực đại.

– Xét hàm số y = x4 – 2x2 + 2, ta có:

y' = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)

y' = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 => x = 0; x = ±1

y" = 12x2 – 4

Dựa vào Quy tắc 2, ta có:

    y"(0) = -4 < 0 => x = 0 là điểm cực đại.

    y"(-1) = y"(1) = 8 > 0 => x = ±1 là hai điểm cực tiểu.

Bài 3 (trang 45 SGK Giải tích 12): Nêu cách tìm ra tiệm cận ngang và tiệm cận dứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

Lời giải:

– Cách tìm tiệm cận ngang:

Đường thẳng y = yo là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

– Cách tìm tiệm cận đứng:

Đường thẳng x = xo là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

– Xét hàm số

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

=> Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2.

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

=> Đồ thị có tiệm cận ngang là y = -2.

Bài 4 (trang 45 SGK Giải tích 12): Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải:

Hàm số y = f(x)

Các bước khảo sát hàm số:

1. Tìm tập xác định của hàm số

2. Sự biến thiên

– Xét chiều biến thiên:

    + Tính đạo hàm y'

 

    + Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu của đạo hàm y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

– Tìm cực trị

– Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

– Lập bảng biến thiên.

3. Vẽ đồ thị của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

Bài 5 (trang 45 SGK Giải tích 12): Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m – 1 có đồ thị là (Cm), m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1

b) Xác định m để hàm số:

    i) Đồng biến trên khoảng (-1; +∞)

    ii) Có cực trị trên khoảng (-1; +∞)

c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Lời giải:

a) Với m = -1 ta được hàm số: y = 2x2 + 2x

– TXĐ: D = R, hàm số không có tiệm cận.

– Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 4x + 2

y' = 0 => x = -1/2

    + Bảng biến thiên:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2), đồng biến trên (-1/2; +∞).

    + Cực trị: Hàm số có điểm cực tiểu là (-1/2; 3/2)

– Đồ thị:

Ta có: 2x2 + 2x = 0 ⇔ 2x(x + 1) = 0

=> x = 0; x = -1

    + Giao với Ox: (0; 0); (-1; 0)

    + Giao với Oy: (0; 0)

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

b) Xét hàm số y = 2x2 + 2mx + m – 1

y' = 4x + 2m = 2(2x + m)

y' = 0 => x = -m/2

Ta có bảng xét dấu y':

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

=> hàm số có cực trị tại x = -m/2

– Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞)

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

– Hàm số có cực trị trên khoảng (-1; +∞) thì:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

c) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm) và trục Ox là:

        2x2 + 2mx + m – 1 = 0     (1)

Δ' = m2 – 2(m – 1) = m2 – 2m + 2

= (m + 1)2 + 1 > 0 ∀ m ∈ R

=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là đồ thị luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m (đpcm).

Bài 6 (trang 45 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2

b) Giải phương trình f'(x – 1) > 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f'(x0) = -6.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: f'(x) = -3x2 + 6x + 9

f'(x) = 0 ⇔ -3x2 + 6x + 9 = 0 ⇔ x = -1; x = 3

    + Giới hạn:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

+ Bảng biến thiên:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

Hàm số đồng biến trên (-1; 3) và nghịch biến trên (-∞; -1) và (3; +∞).

    + Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (3; 29);

Hàm số đạt cực tiểu tại (-1; -3);

– Đồ thị:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

b) Ta có: f'(x – 1) > 0

⇔ -3(x – 1)2 + 6(x – 1) + 9 > 0

⇔ -3(x2 – 2x + 1) + 6x – 6 + 9 > 0

⇔ -3x2 + 6x – 3 + 6x – 6 + 9 > 0

⇔ -3x2 + 12x > 0 ⇔ -x2 + 4x > 0

⇔ x(4 – x) > 0 ⇔ 0 < x < 4

c) Ta có: f"(x) = -6x + 6

Theo bài: f"(xo) = -6 => -6xo + 6 = -6 => xo = 2

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm xo = 2 là:

y = f'(2)(x – 2) + f(2)

y = (-3.22 + 6.2 + 9)(x – 2) + (-23 + 3.22 + 9.2 + 2)

y = 9(x – 2) + 24 = 9x + 6

Bài 7 (trang 45-46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

 

y = x3 + 3x2 + 1

) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m:

x3 + 3x2 + 1 = m/2

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 + 1

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 3x2 + 6x = 3x(x + 2)

y' = 0 ⇔ x = 0 ; x = -2

    + Giới hạn:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

+ Bảng biến thiên:

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0).

    + Cực trị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (0; 1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (-2; 5).

– Đồ thị:

    + Giao với Oy: (0; 1).

    + Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).

Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

b) Số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + 1 = m/2 bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m/2.

 
Cách giải bài tập SGK Toán giải tích lớp 12, Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô

Biện luận: Từ đồ thị ta có:

    + m/2 < 1 ⇔ m < 2: phương trình có 1 nghiệm.

    + m/2 = 1 ⇔ m = 2: Phương trình có 2 nghiệm.

    + 1 < m/2 < 5 ⇔ 1 < m < 10: phương trình có 3 nghiệm.

    + m/2 > 5 ⇔ m > 10: phương trình có 1 nghiệm số.

Vậy:

    + Nếu m < 2 hoặc m > 10 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

Post navigation

Leave a Comment

Your email address will not be published.

Xem thêm
Scroll to Top