Bài 1 trang 45:
Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
.png)
Đáp án:
– Điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, hàm số f(x):
+ Đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K: x1 < x2 => f(x1) < f(x2).
+ Nghịch biến (giảm) trên K ∀ x1, x2 ∈ K: x1 < x2 => f(x1) > f(x2)
– Xét hàm số y = -x3 + 2x2 – x – 7, ta có:
D = R
y' = -3x2 + 4x – 1
y' = 0 => x = 1 ; x = 1/3
y' > 0 với x ∈ (1/3; 1) và y' < 0 với x ∈ (-∞; 1/3) ∪ (1; +∞)
Vậy hàm số đồng biến trên (1/3; 1) và nghịch biến trên (-∞; 1/3) ∪ (1; +∞).
– Xét hàm số
.PNG)
Ta có: D = R {1}
.PNG)
=> Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng (-∞; 1) và (1; +-∞)
Bài 2 (trang 45 SGK Giải tích 12): Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số:
y = x4 – 2x2 + 2
ời giải:
– Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm:
Quy tắc 1:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
uy tắc 2:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, 3, …) là các nghiệm của nó.
3. Tính f"(x) và f"(xi)
4. Nếu f"(xi) > 0 thì xi là điểm cực tiểu.
Nếu f"(xi) < 0 thì xi là điểm cực đại.
– Xét hàm số y = x4 – 2x2 + 2, ta có:
y' = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)
y' = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 => x = 0; x = ±1
y" = 12x2 – 4
Dựa vào Quy tắc 2, ta có:
y"(0) = -4 < 0 => x = 0 là điểm cực đại.
y"(-1) = y"(1) = 8 > 0 => x = ±1 là hai điểm cực tiểu.
Bài 3 (trang 45 SGK Giải tích 12): Nêu cách tìm ra tiệm cận ngang và tiệm cận dứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
.PNG)
Lời giải:
– Cách tìm tiệm cận ngang:
Đường thẳng y = yo là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
.PNG)
– Cách tìm tiệm cận đứng:
Đường thẳng x = xo là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
.PNG)
– Xét hàm số
.PNG)
.PNG)
=> Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2.
.PNG)
=> Đồ thị có tiệm cận ngang là y = -2.
Bài 4 (trang 45 SGK Giải tích 12): Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Lời giải:
Hàm số y = f(x)
Các bước khảo sát hàm số:
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
– Xét chiều biến thiên:
+ Tính đạo hàm y'
+ Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu của đạo hàm y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
– Tìm cực trị
– Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
– Lập bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
Bài 5 (trang 45 SGK Giải tích 12): Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m – 1 có đồ thị là (Cm), m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1
b) Xác định m để hàm số:
i) Đồng biến trên khoảng (-1; +∞)
ii) Có cực trị trên khoảng (-1; +∞)
c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Lời giải:
a) Với m = -1 ta được hàm số: y = 2x2 + 2x
– TXĐ: D = R, hàm số không có tiệm cận.
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 4x + 2
y' = 0 => x = -1/2
+ Bảng biến thiên:
.PNG)
Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2), đồng biến trên (-1/2; +∞).
+ Cực trị: Hàm số có điểm cực tiểu là (-1/2; 3/2)
– Đồ thị:
Ta có: 2x2 + 2x = 0 ⇔ 2x(x + 1) = 0
=> x = 0; x = -1
+ Giao với Ox: (0; 0); (-1; 0)
+ Giao với Oy: (0; 0)
.PNG)
b) Xét hàm số y = 2x2 + 2mx + m – 1
y' = 4x + 2m = 2(2x + m)
y' = 0 => x = -m/2
Ta có bảng xét dấu y':
.PNG)
=> hàm số có cực trị tại x = -m/2
– Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞)
.PNG)
– Hàm số có cực trị trên khoảng (-1; +∞) thì:
.PNG)
c) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm) và trục Ox là:
2x2 + 2mx + m – 1 = 0 (1)
Δ' = m2 – 2(m – 1) = m2 – 2m + 2
= (m + 1)2 + 1 > 0 ∀ m ∈ R
=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là đồ thị luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m (đpcm).
Bài 6 (trang 45 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2
b) Giải phương trình f'(x – 1) > 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f'(x0) = -6.
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2
– TXĐ: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: f'(x) = -3x2 + 6x + 9
f'(x) = 0 ⇔ -3x2 + 6x + 9 = 0 ⇔ x = -1; x = 3
+ Giới hạn:
.PNG)
+ Bảng biến thiên:
.PNG)
Hàm số đồng biến trên (-1; 3) và nghịch biến trên (-∞; -1) và (3; +∞).
+ Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại (3; 29);
Hàm số đạt cực tiểu tại (-1; -3);
– Đồ thị:
.PNG)
b) Ta có: f'(x – 1) > 0
⇔ -3(x – 1)2 + 6(x – 1) + 9 > 0
⇔ -3(x2 – 2x + 1) + 6x – 6 + 9 > 0
⇔ -3x2 + 6x – 3 + 6x – 6 + 9 > 0
⇔ -3x2 + 12x > 0 ⇔ -x2 + 4x > 0
⇔ x(4 – x) > 0 ⇔ 0 < x < 4
c) Ta có: f"(x) = -6x + 6
Theo bài: f"(xo) = -6 => -6xo + 6 = -6 => xo = 2
Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm xo = 2 là:
y = f'(2)(x – 2) + f(2)
y = (-3.22 + 6.2 + 9)(x – 2) + (-23 + 3.22 + 9.2 + 2)
y = 9(x – 2) + 24 = 9x + 6
Bài 7 (trang 45-46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
y = x3 + 3x2 + 1
) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m:
x3 + 3x2 + 1 = m/2
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 + 1
– TXĐ: D = R
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y' = 3x2 + 6x = 3x(x + 2)
y' = 0 ⇔ x = 0 ; x = -2
+ Giới hạn:
.PNG){kind=small}
+ Bảng biến thiên:
.PNG)
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0).
+ Cực trị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (0; 1).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (-2; 5).
– Đồ thị:
+ Giao với Oy: (0; 1).
+ Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).
.PNG)
b) Số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + 1 = m/2 bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m/2.
.PNG)
Biện luận: Từ đồ thị ta có:
+ m/2 < 1 ⇔ m < 2: phương trình có 1 nghiệm.
+ m/2 = 1 ⇔ m = 2: Phương trình có 2 nghiệm.
+ 1 < m/2 < 5 ⇔ 1 < m < 10: phương trình có 3 nghiệm.
+ m/2 > 5 ⇔ m > 10: phương trình có 1 nghiệm số.
Vậy:
+ Nếu m < 2 hoặc m > 10 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
