Câu 1: Cho m > n, hãy so sánh:
a, 5m và 5n
b, -3m và -3n
Lời giải:
a, 5m < 5n
b, -3m > -3n
Câu 2: Số b là số âm, số 0 hay số dương nếu:
a, 5b > 3b
b, -12b > 8b
c, -6b ≥ 9b
d, 3b ≤ 15b
Lời giải:
a, Vì 5 > 3 mà 5b > 3b nên b là số dương
b, Vì -12 < 8 mà -12b > 8b nên b là số âm
c, Vì -6 < 9 mà -6b ≥ 9b nên b là số không dương (tức b ≤ 0)
d, Vì 3 < 5 mà 3b ≤ 5b nên b là số không âm (tức b ≥ 0)
Câu 3: Cho m < n, chứng tỏ:
a, m + 3 > n + 1
b, 3m + 2 > 3n
Lời giải:
a, Ta có: m > n ⇒ m + 3 > n + 3 (1)
1 < 3 ⇒ n + 1 < n + 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: m + 3 > n + 1
b, Ta có: m > n ⇒ 3m > 3n (3)
2 > 0 ⇒ 3m + 2 < 3m (4)
Từ (3) và (4) suy ra: 3m + 2 > 3n
Câu 4: Cho m < n, chứng tỏ:
a, 2m + 1 < 2n + 1
b, 4(m – 2) < 4(n – 2)
c, 3 – 6m > 3 – 6n
Lời giải:
a, Ta có: m < n ⇒ 2m < 2n ⇒ 2m + 1 < 2n + 1
b, Ta có: m < n ⇒ m – 2 < n – 2 ⇒ 4(m – 2) < 4(n – 2)
c, Ta có: m < n ⇒ – 6m > – 6n ⇒ 3 – 6m > 3 – 6n
Câu 5: Cho m < n, chứng tỏ:
a, 4m + 1 < 4n + 5
b, 3 – 5m > 1 – 5n
Lời giải:
a, Ta có: m < n ⇒ 4m < 4n ⇒ 4m + 1 < 4n + 1 (1)
1 < 5 ⇒ 4n + 1 < 4n + 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 4m + 1 < 4n + 5
b, Ta có: m < n ⇒ -5m > -5n ⇒ 1 – 5m > 1 – 5n (3)
3 > 1 ⇒ 3 – 5m > 1 – 5m (4)
Từ (3) và (4) suy ra: 3 – 5m > 1 – 5n
Câu 6: Cho a > 0, b > 0, nếu a < b, hãy chứng tỏ:
a, a2 < ab và ab < b2
b, a2 < b2 và a3 < b3
Lời giải:
a, Với a > 0, b > 0 ta có:
a < b ⇒ a.a < a.b ⇒ a2 < ab (1)
a < b ⇒ a.b < b.b ⇒ ab < b2 (2)
b, Từ (1) và (2) suy ra: a2 < b2
Ta có: a < b ⇒ a3 < a2b (3)
a < b ⇒ ab2 < b3 (4)
a < b ⇒ a.a.b < a.b.b ⇒ a2b < ab2 (5)
Câu 7: Cho a > 5, hãy cho biết bất đẳng thức nào xảy ra:
a, a + 5 > 10
b, a + 4 > 8
c, -5 > -a
d, 3a > 13
Lời giải:
a, Ta có: a > 5 ⇒ a + 5 > 5 + 5 ⇒ a + 5 > 10
b, Ta có: a > 5 ⇒ a + 4 > 5 + 4 ⇒ a + 4 > 9 ⇒ a + 4 > 8
c, Ta có: a > 5 ⇒ -a < -5 ⇒ -5 > -a
d, Ta có: a > 5 ⇒ a.3 > 5.3 ⇒ 3a > 15 ⇒ 3a > 13
Vậy các bất đẳng thức đều xảy ra,
Câu 8: Cho 2a > 8, chứng tỏ a > 4. Điều ngược lại là gì? Điều đó có đúng không?
Lời giải:
Ta có: 2a > 8 ⇒ 2a, 1/2 > 8. 1/2 ⇒ a > 4
Ngược lại: Nếu a > 4 thì 2a > 8
Điều này đúng vì: a > 4 ⇒ a.2 > 4.2 ⇒ 2a > 8
Câu 9: a, Cho bất đẳng thức m > 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức 1m > 0?
b, Cho bất đẳng thức m < 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức 1m < 0?
Lời giải:
a, Ta có: m > 0 ⇒ 1/m2 > 0 ⇒ m. 1/m2 > 0. 1/m2 ⇒ 1/m > 0
b, Ta có: m < 0 ⇒m2 > 0 ⇒ 1/m2 > 0
m < 0 ⇒ m. 1/m2 < 0. 1/m2 ⇒ 1/m < 0
Câu 10: Cho a > 0, b > 0 và a > b, chứng tỏ 1a < 1b
Lời giải:
Ta có: a > 0, b > 0⇒ a.b > 0.b⇒ ab > 0⇒ 1/ab > 0
a > b⇒ a. 1/ab > b. 1/ab⇒ 1/b > 1/a⇒ 1/a < 1/b
Câu 11: So sánh m2 và m nếu:
a, m lớn hơn 1
b, m dương nhưng nhỏ hơn 1
Lời giải:
a, Ta có: m > 1 ⇒ m.m > 1.m ⇒ m2 > m
b, Ta có: m > 0 và m < 1 ⇒ m.m < 1.m ⇒ m2 < m
Câu 12: Cho a < b và c < d, chứng tỏ a + c < b + d
Lời giải:
Ta có: a < b ⇒ a + c < b + c (1)
c < d ⇒ b + c < b + d (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a + c < b + d,
Câu 13: Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a < b, c < d, chứng tỏ ac < bd,
Lời giải:
Với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có:
a < b ⇒ ac < bc (1)
c < d ⇒ bc < bd (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ac < bd,
Câu 14: Chứng tỏ rằng với a và b là các số bất kì thì:
a, a2 + b2 – 2ab ≥ 0
b, (a2 + b2)/2 ≥ ab
Lời giải:
a, Ta có: (a – b)2 ≥ 0 ⇒ a2 + b2 – 2ab ≥ 0
b, Ta có: (a – b)2 ≥ 0 ⇒ a2 + b2 – 2ab ≥ 0
⇒ a2 + b2 – 2ab + 2ab ≥ 2ab ⇒ a2 + b2 ≥ 2ab
⇒ (a2 + b2). 1/2 ≥ 2ab. 1/2 ⇒ (a2 + b2)/2 ≥ ab
Câu 15: a, Với số a bất kì, chứng tỏ: a(a + 2) < (a + 1)2
b. Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứnggiữa lớn hơn tích hai số còn lại.
Lời giải:
a, Ta có: 0 < 1 ⇒ a2 + 2a + 0 < a2 + 2a + 1 ⇒ a2 + 2a < (a + 1)2
⇒ a(a + 2) < (a + 1)2
b, Gọi a, a + 1, a + 2 là ba số nguyên liên tiếp, ta có:
(a + 1)2 = a2 + 2a + 1 (1)
a(a + 2) = a2 + 2a (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a(a + 2) < (a + 1)2.
Vậy trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.
