Câu 1: Cho các bất đẳng thức:
a > b; a < b; c > 0; c < 0; a + c < b + c; a + c > b + c; ac < bc; ac > bc
Hãy điển các bất đẳng thức thích hợp vào chỗ trống (…) trong câu sau: Nếu……… và………. thì………..
Lời giải:
Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc
Nếu a > b và c > 0 thì a + c > b + a
Nếu a > b và c < 0 thì a + c > b + c
Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc
Nểu a < b và c > 0 thì ac < bc
Nếu a < b và c > 0 thì a + c < b + c
Nếu a < b và c < 0 thì ac > bc
Nếu a < b và c < 0 thì a + c < b + c
Câu 2: Cho a > b, chứng tỏ:
a, 3a + 5 > 3b + 2
b, 2 – 4a < 3 – 4b
Lời giải:
a, Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + 5 > 3b + 5 (1)
Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2
b, Ta có: a > b ⇔ -4a < -4b ⇔ 3 – 4a < 3 – 4b (1)
Mặt khác: 2 – 4a < 3 – 4a (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b
Câu 3: a, Chứng tỏ 2,99 là nghiệm của bất phương trình 3 > x. Hãy kể ra bốn số lớn hơn 2,99 là nghiệm của bất phương trình đó.
b, Chứng tỏ 4,01 là nghiệm của bất phương trình 4 < x. Hãy kể ra ba số nhỏ hơn 4,01 là nghiệm của bất phương trình đó.
Lời giải:
a, Ta có 2,99 là nghiệm của bất phương trình x < 3. Bốn số lớn hơn 2,99 là nghiệm của bất phương trình là: 2,999; 2,998; 2,997; 2,996.
b, Ta có 4,01 là nghiệm của bất phương trình x > 4. Ba số nhỏ hơn 4,01 là nghiệm của bất phương trình là: 4,003; 4,002; 4,001
Câu 4: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số.
a, 2(3x – 1) – 2x < 2x + 1
b, 4x – 8 ≥ 3(3x – 2) + 4 – 2x
Lời giải:
a, Ta có: 2(3x – 1) – 2x < 2x + 1
⇔ 6x – 2 – 2x < 2x – 1
⇔ 6x – 2x – 2x < -1 + 2
⇔ 2x < 1
⇔ x < 12
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x < 12 }
b, Ta có: 4x – 8 ≥ 3(3x – 2) + 4 – 2x
⇔ 4x – 8 ≥ 9x – 6 + 4 – 2x
⇔ 4x – 9x + 2x ≥ – 6 + 4 + 8
⇔ -3x ≥ 6
⇔ x ≤ -2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x ≤ -2}
Câu 5: Một người đi bộ quảng đường dài 18km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 4 gỉờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h, về sau đi với vận tốc 4km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h.
Lời giải:
Gọi x (km) là đoạn đường người đó đi với vận tốc 5km/h. ĐK: x < 18.
Khi đó đoạn đường người đó đi với vận tốc 4km/h là 18 – x(km)
Thời gian đi với vận tốc 5km/h là x/5 giờ
Thời gian đi với vận tốc 4km/h là (18 – x)/4 giờ.
Vì thời gian đi hết đoạn đường không quá 4 giờ nên ta có bất phương trình: x/5 + (18 – x)/4 ≤ 4.
Ta có: x/5 + (18 – x)/4 ≤ 4
⇔ x/5 .20 + (18 – x)/4 .20 ≤ 4.20
⇔ 4x + 90 – 5x ≤ 80
⇔ 4x – 5x ≤ 80 – 90
⇔ -x ≤ -10
⇔ x ≥ 10
Vậy đoạn đường đi với vận tốc 5km/h ít nhất là 10km.
Câu 6: Giải các phương trình:
a, |2x| = 3x – 2
b, |-3,5x| = 1,5x + 5
c, |x + 15| = 3x – 1
d, |2 – x| = 0,5x – 4
Lời giải:
a, Ta có: |2x| = 2x khi 2x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0
|2x| = -2x khi 2x < 0 ⇒ x < 0
Ta có: 2x = 3x – 2
⇔ 2x – 3x = -2
⇔ x = 2
Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên 2 là nghiệm của phương trình.
-2x = 3x – 2
⇔ -2x – 3x = -2
⇔ x = 25
Giá trị x = 25 không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên loại.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}
b, Ta có: |-3,5x| = -3,5x khi -3,5x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0
|-3,5x| = 3,5x khi -3,5x < 0 ⇒ x > 0
Ta có: -3,5x = 1,5x + 5
⇔ -3,5x – 1,5x = 5
⇔ -5x = 5
⇔ x = -1
Giá trị x = -1 thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên -1 là nghiệm của phương trình.
3,5x = 1,5x + 5
⇔ 3,5x – 1,5x = 5
⇔ 2x = 5
⇔ x = 2,5
Giá trị x = 2,5 thỏa mãn điều kiện x > 0 nên 2,5 là nghiệm của phương trình.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1; 2,5}
c, Ta có: |x + 15| = x + 15 khi x + 15 ≥ 0 ⇒ x ≥ -15
|x + 15| = -x – 15 khi x + 15 < 0 ⇒ x < -15
Ta có: x + 15 = 3x – 1
⇔ x – 3x = -1 – 15
⇔ -2x = -16
⇔ x = 8
Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x ≥ -15 nên 8 là nghiệm của phương trình.
-x – 15 = 3x – 1
⇔ -x – 3x = -1 + 15
⇔ -4x = 14
⇔ x = -3,5
Giá trị x = -3,5 không thỏa mãn điều kiện x < -15 nên loại.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {8}
d, Ta có: |2 – x| = 2 – x khi 2 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2
|2 – x| = x – 2 khi 2 – x < 0 ⇒ x > 2
Ta có: 2 – x = 0,5x – 4
⇔ -x – 0,5x = -4 + 2
⇔ 0,5x = -2
⇔ x = -4
Giá trị x = -4 thỏa mãn điều kiện x ≤ 2 nên loại.
x – 2 = 0,5x – 4
⇔ x – 0,5x = -4 + 2
⇔ 0,5x = -2
⇔ x = -4
Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x > 2 nên loại.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ∅
Câu 7: Chứng tỏ rằng, trong một tam giác độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi.
Lời giải:
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác,
Chu vi tam giác là a + b + c,
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
a < b + c
⇔ a + a < a + b + c
⇔ 2a < a + b + c
⇔ a < (a + b + c)/2
Tương tự:
b < a + c
⇔ b + b < a + b + c
⇔ 2b < a + b + c
⇔ b < (a + b + c)/2
c < a + b
⇔ c + c < a + b + c
⇔ 2c < a + b + c
⇔ c < (a + b + c)/2
Vậy trong một tam giác độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi.
Câu 8: hứng tỏ diện tích của hình vuông có cạnh 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật có cùng chu vi.
Lời giải:
Chu vi hình chữ nhật là 4.10 = 40 (m)
Gọi x (m) là chiều rộng hình chữ nhật. Điều kiện: x < 20.
Khi đó chiều dài hình chữ nhật là 20 – x (m).
Diện tích hình chữ nhật là x(20 – x) (m2).
Ta có: (10 – x)2 ≥ 0
⇔ 102 – 20x + x2 ≥ 0
⇔ 102 ≥ 20x – x2
⇔ 102 ≥ x(20 – x)
Vậy diện tích hình vuông cạnh 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật cùng chu vi.
Câu 9: Tìm x sao cho:
a, –x2 < 0
b, (x – 1)x < 0
Lời giải:
a, Ta có: -x2 < 0 ⇔ x2 > 0
Mọi giá trị x ≠ 0 đều là nghiệm của bất phương trình.
Tập hợp các giá trị của x là {x ∈ R|x ≠ 0}
b, Trường hợp 1: x – 1 > và 0
Ta có: x – 1 > 0 ⇔ x > 1 và x < 0
Điều này không xảy ra: loại.
Trường hợp 2: x – 1 < 0 và x > 0
Ta có: x – 1 < 0 ⇔ x < 1 và x > 0
Suy ra: 0 < x < 1
Vậy tập hợp các giá trị của x là {x|0 < x < 1}
Câu 10: Tìm x sao cho:
a, x2 > 0
b, (x – 2)(x – 5) > 0
Lời giải:
a, Với x2 > 0 thì mọi x khác 0 đều thỏa mãn bài toán.
Tập hợp các giá trị của x là {x ∈ R|x ≠ 0}
b, Trường hợp 1: x – 2 > 0 và x – 5 > 0
Ta có: x – 2 > 0 ⇔ x > 2
x – 5 > 0 ⇔ x > 5
Suy ra: x > 5
Trường hợp 2: x – 2 < 0 và x – 5 < 0
Ta có: x – 2 < 0 ⇔ x < 2
x – 5 < 0 ⇔ x < 5
Suy ra: x < 2
Vậy với x > 5 hoặc x < 2 thì (x – 2)(x – 5) > 0.
Câu 11: Với giá trị nào của x thì:
a, (x – 2)/(x – 3) > 0
b, (x + 2)/(x – 5) < 0
Lời giải:
a, Trường hợp 1: x – 2 > 0 và x – 3 > 0
Ta có: x – 2 > 0 ⇔ x > 2
x – 3 > 0 ⇔ x > 3
Suy ra: x > 3
Trường hợp 2: x – 2 < 0 và x – 3 < 0
Ta có: x – 2 < 0 ⇔ x < 2
x – 3 < 0 ⇔ x < 3
