Trang chủ » Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II – Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II – Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 1 (trang 62 SGK Hình học 10): Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác của một góc α với 0o ≤ α ≤ 180o. Tại sao khi α là các góc nhọn thì giá trị lượng giác này lại chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9?

Lời giải:

Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

a) Trên nửa đường tròn lượng giác nằm phía trên trục hoành, xác định điểm M(x0; y0) sao cho Giải bài 1 trang 62 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Khi đó ta có:

    sin α = y0

    cos α = x0

    tan α = y0 / x0

    cot α = x0 / y0

b) Gọi E, F là hình chiếu của M trên Oy, Ox.

 

Khi α < 90º thì x0 > 0, y0 > 0

Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2 (trang 62 SGK Hình học 10): Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và coossin đối nhau?

Lời giải:

Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Gọi M(xo; yo) nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ∠xOM = α

Khi đó điểm M'(-xo; yo) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ∠xOM' = 180o – α (tức là ∠xOM' là bù với ∠xOM = α)

Do đó: sinα = yo = sin(180o – α)

 

        cosα = xo = -(-xo) = -cos(180o – α)

Bài 3 (trang 62 SGK Hình học 10): Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ a và b. Tích vô hướng này với |a| và |b| không đổi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi nào?

Lời giải:

Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 4 (trang 62 SGK Hình học 10): Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ a(-3; 1) và b(2; 2). Hãy tính tích vô hướng a.b.

 

Lời giải:

Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 5 (trang 62 SGK Hình học 10): Hãy nhắc lại định lí côsin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính cosA, cosB, cosC theo các cạnh của tam giác.

 

Lời giải:

Định lí Cô sin : Tam giác ABC có AB = c, BC = a, AB = c thì ta có :

Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 6 (trang 62 SGK Hình học 10): Từ hệ thức a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA trong tam giác, hãy suy ra định lý Pi-ta-go.

Lời giải:

 

Giả sử tam giác ABC vuông tại A, suy ra góc A = 90º, đặt BC = a, CA = b, AB = c

Theo định lý Cô sin trong tam giác ta có:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A = b2 + c2 – 2bc.cos 90º = b2 + c2 – 2bc.0 = b2 + c2 .

Vậy trong tam giác ABC vuông tại A thì a2 = b2 + c2 (Định lý Pytago).

Bài 7 (trang 62 SGK Hình học 10): Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Lời giải:

Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 8 (trang 62 SGK Hình học 10): Trong tam giác ABC. Chứng minh rằng

a) Góc A nhọn khi và chỉ khi a2 < b2 + c2

 

b) Góc A tù khi và chỉ khi a2 > b2 + c2

c) Góc A vuông khi và chỉ khi a2 = b2 + c2

Lời giải:

 

Trong tam giác ABC, theo Hệ quả định lý Cô sin ta luôn có :

Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Mà ta có 2.bc > 0 nên cos A luôn cùng dấu với b2 + c2 – a2.

a) Góc A nhọn ⇔ cos A > 0 ⇔ b2 + c2 – a2 > 0 ⇔ a2 < b2 + c2.

b) Góc A tù ⇔ cos A < 0 ⇔ b2 + c2 – a2 < 0 ⇔ a2 > b2 + c2.

c) Góc A vuông ⇔ cos A = 0 ⇔ b2 + c2 – a2 = 0 ⇔ a2 = b2 + c2.

Bài 9 (trang 62 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC có góc A = 60o, BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Lời giải:

Áp dụng định lý Sin trong tam giác ABC ta có:

Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2√3.

Bài 10 (trang 62 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC có a = 12, b = 16, c = 20. Tính diện tích S của tam giác, chiều cao ha, bán kính R, r của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến ma của tam giác

Lời giải:

Nhận xét: Tam giác ABC có a2 + b2 = c2 nên vuông tại C.

Giải bài tập SGK toán lớp 10. Chương 2. Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

+ Diện tích tam giác: S = 1/2.a.b = 1/2.12.16 = 96 (đvdt)

+ Chiều cao ha: ha = AC = b = 16.

+ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của AB.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AB /2 = c/2 = 10.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: S = p.r ⇒ r = S/p.

Mà S = 96, p = (a + b + c) / 2 = 24 ⇒ r = 4.

+ Đường trung tuyến ma:

ma2 = (2.(b2 + c2) – a2) / 4 = 292 ⇒ ma = √292.

Bài 11 (trang 62 SGK Hình học 10): Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là a và b, tìm tam giác có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Diện tích tam giác : S = 1/2.ab.sinC.

Mà ta có 0 < sin C < 1 nên 0 < S ≤ 1/2.ab

Vậy Max S = 1/2.ab

Dấu “=” xảy ra khi sin C = 1 ⇔ C = 90º.

 

Vậy trong các tam giác có hai cạnh a và b, tam giác vuông có diện tích lớn nhất bằng 1/2.ab.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Xem thêm
Scroll to Top