Trả lời câu hỏi bài Nghiệm của đa thức một biến

Câu 1: Cho đa thức f(x) = x² – 4x – 5. Chứng tỏ rằng x = -1; x = 5 là hai nghiệm của đa thức đó.

Lời giải:

Thay x = -1; x = 5 vào đa thức f(x) = x² – 4x – 5, ta có:

f(-1) = (-1)² – 4.(-1) – 5 = 1 + 4 – 5 = 0

f(5) = 5² – 4.5 – 5 = 25 – 20 – 5 = 0

Vậy x = -1 và x = 5 là các nghiệm của đa thức f(x) = x² – 4x – 5

Câu 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a, 2x + 10

b, 3x – 1/2

c, x² – x

Lời giải:

a, Ta có: 2x + 10 = 0 ⇔ 2x = -10 ⇔ x = -10 : 2 ⇔ x = -5

Vậy x = -5 là nghiệm của đa thức 2x + 10

b, Ta có: 3x – 1/2 = 0 ⇔ 3x = 1/2 ⇔ x = 1/2 : 3 = 1/6

Vậy x = 1/6 là nghiệm của đa thức 3x – 1/2

c, Ta có: x² – x = 0 ⇔ x(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x – 1 = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 1

Vậy x = 0 và x = 1 là các nghiệm của đa thức x² – x

Câu 3: Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a, (x – 2)(x + 2)

b, (x – 1)(x² + 1)

Lời giải:

a, Ta có: (x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ x – 2 = 0 hoặc x + 2 = 0

x – 2 = 0 ⇔ x = 2

x + 2 = 0 ⇔ x = -2

Vậy x = 2 và x = -2 là các nghiệm của đa thức (x – 2)(x + 2)

b, Ta có: (x – 1)(x² + 1) = 0

Vì x² ≥ 0 với mọi giá trị của x ∈ R nên:

x2 + 1 > 0 với mọi x ∈ R

Suy ra: (x – 1)(x² + 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức (x – 1)(x² + 1)

Câu 4: Chứng tỏ rằng nếu a + b + c = 0 thì x = 1 là một nghiệm của đa thức ax² + bx + c.

Lời giải:

Thay x = 1 vào đa thức ax² + bx + c, ta có:

a.1² + b.1 + c = a + b + c

Vì a + b + c = 0 nên a.1² + b.1 + c = a + b + c = 0

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức ax² + bx + c khi a + b + c = 0

Câu 5: Chứng tỏ rằng nếu a – b + c = 0 thì x = -1 là một nghiệm của đa thức ax² + bx + c

Lời giải:

Thay x = -1 vào đa thức ax² + bx + c, ta có:

a.(-1)² + b.(-1) + c = a – b + c

Vì a – b + c = 0 ⇒ a.(-1)2 + b.(-1) + c = a – b + c = 0

Vậy x = -1 là nghiệm của đa thức ax² + bx + c khi a – b + c = 0

Câu 6: Chứng tỏ rằng đa thức x² + 2x + 2 không có nghiệm

Lời giải:

Ta có: x² + 2x + 2 = x² + x + x + 1 + 1

= x(x + 1) + (x + 1) + 1

= (x + 1)(x + 1) + 1 = (x + 1)² + 1

Vì (x + 1)2 ≥ 0 với mọi x ∈ R, nên (x + 1)² + 1 > 0 với mọi x ∈ R

Vậy đa thức x² + 2x + 2 không có nghiệm.

Câu 7: Đố em tìm được số mà:

a, Bình phương của nó bằng chính nó

b, Lập phương của nó bằng chính nó

Lời giải:

a, Gọi số cần tìm là a.

Ta có: a² = a ⇔ a² – a = 0 ⇔ a (a – 1) = 0 ⇔ a = 0 hoặc a – 1 = 0

Vậy số cần tìm là 0 hoặc 1.

b, Gọi số cần tìm là b.

Ta có: b³ = b ⇔ b³ – b = 0 ⇔ b (b2 – 1) = 0

⇔ b (b – 1)(b + 1) = 0

⇔ b = 0 hoặc b – 1 = 0 hoặc b + 1 = 0

⇔ b = 0 hoặc b = 1 hoặc b = -1

Vậy số cần tìm là 0 hoặc 1 hoặc -1.